函数及函数的思想是贯穿整个高中数学的一条主线,是中学数学教学的重要内容之一。函数图像的变换在教材中占有重要的地位。函数图像的变换,其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系?这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在初中新课程标准中图形的变换(轴对称、平移、旋转与相似)作为单独的章节被列出,要求学生能合理地运用图形的变换,认识图形的特征与性质,但又不高度抽象和形式化。高中要求用高度抽象的数学符号来描述动态的变换过程,在思维能力层次上与初中有较大差异,这无疑成为学生学习中的难点。 本文通过问卷调查和访谈,研究高中生对函数平移和伸缩变换的理解和解释,同时访谈了10位在职数学教师对这两种变换的解释以及教学中对这一内容的处理方法。调查发现:学生在解释函数的水平平移和伸缩时所用策略有:套用法则、取点验证、函数式运算、根据图像、看对称轴、零点或顶点、计算周期法、变量代换等。多数学生对水平平移的解释是“左加右减”,但并不能解释为什么。对于伸长到几倍或缩短到几分之几倍靠的完全是死记,同样并不理解。教师也提供了多种解释,包括套用法则、取点验证、找函数的零点或顶点、关注自变量x、寻找一致性等,学生和教师的策略有同有异,但它们都不能帮助学生真正理解函数变换。 调查还发现,一些学生在解函数平移或伸缩问题时会在函数图像的平移方向(水平和竖直方向、左右方向、上下方向)、平移的距离、伸长或缩短等方面犯错误。本文认为,由于学生对过去经验的过度一般化所导致的认识论障碍、遇到复杂问题时所用的降低抽象程度的策略、以及教材的处理都是学生错误的根源。在论文的最后,我们提出适于教学的若干方法。