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凸性作为一个重要的几何特征,长期以来一直是椭圆偏微分方程研究中的重要主题.本文的主要研究对象是椭圆偏微分方程解的水平集的凸性.利用经典的极大值原理,本文给出了p-调和函数水平集高斯曲率的最佳正下界估计,也给出了Rn：极小曲面水平集高斯曲率的最佳正下界估计和一类半线性方程解的水平集高斯曲率的正下界估计.另一方面,本文还研究了p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性.具体地说.本文的主要结果如下Ⅰ.p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计定理0.0.1.设Ω(?)Rn(n≥2)是一个有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω)是定义在Q上的p-调和函数,即u满足p-调和方程div(|▽u|p-2▽u)=0in Ω.设1<p<+∞,在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.若u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的,那么我们有下面的论断.情形1:若n≥2,1<p<+∞,则函数|▽u|n+1-2pK在边界上取到最小值.情形2:若n=2,1<p<+∞或n≥3,1+2/n≤p≤n则函数|▽u|1-pK在边界上取到最小值.情形3:若杀n:2,3/2≤p≤3;n=3,2≤p<+∞或n≥4,p=n=1/2则函数K边界上取到最小值.根据定理0.0.1,我们可以得到p-调和函数水平集高斯曲率的正下界估计推论0.0.2.设Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中有界光滑凸区域,并且Ω1(?)Ω0.设u满足下述Dirichlet(?)问题其中1<p<+∞.记u的水平集的高斯曲率为K.那么我们有下面的曲率估计.情形1a:若1<p≤(n+1)/2,情形1b:若n+1)/2<p<+∞,情形2:若n=2,1<p<+∞或n≥3,1+2/n≤p≤n,情形3:若n=2,3/2≤p≤3;n=3,2≤p<+∞或n≥4,p=n=1/2, ΩminK≥δΩmin K.特别地,对于调和函数,我们有下面的命题.命题0.0.3.设Ω是Rn(n≥2)中的区域,u是定义在Ω上的调和函数,并且u在Ω内没有临界点.记u的水平集的高斯曲率为K.定义函数ψ=|▽u|-1K.设u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的.那么,在模掉梯度项▽Ψ的意义下函数Ψ是Ω上的上调和函数,即成立下面的微分不等式△ψ≤C|▽ψ|inΩ,其中正常数C依赖于n和||u||C3(Ω).Ⅱ.极小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估计定理0.0.4.设Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω)(?)茜足下述极小曲面方程设在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.若u的水平集相对于梯度▽u的方向是严格凸的,那么我们有下面的结论.最小值.类似地,我们可以得到极小曲面方程解的水平集的高斯曲率正下界估计推论0.0.5.设Ω0和Q1是Rn(n≥2)中的有界光滑凸区域,并且Ω1(?) Ω0.记Ω=Ω0Ω1.设u满足Dirichle(?)问题记u的水平集的高斯曲率为K.那么,我们有下述估计Ⅲ.半线性方程解的水平集的高斯曲率正下界估计定理0.0.6.设Ω是Rn(n≥2)中的有界光滑区域,u∈C4(Ω)∩C2(Ω)；满足半线性方程△u=f(x,u,▽u) inΩ,其中f≥0,f∈C2(Ω×R×Rn)设在Ω上|▽u|≠0.记u的水平集的高斯曲率为K.设u的水平集相对于梯度Vu的方向是严格凸的.为表述方便,我们记下述两个断言分别为(A1)和(A2),即(A1)函数|▽u|-2K在边界上取到最小值(A2)函数|▽u|n-1K在边界上取到最小值.那么我们有如下结论.情形1:f=f(u).当fu≥0时,(A1)成立;当fu≤0时,(A2)成立.情形2:f=f(x).如果映射F:(0,+∞)×Ω→R,(t,x)→t3f(x)是凸的(当f>0时,等价于f-1/2是凹的),那么(A2)成立.情形3:f=f(x,u)设对每一个固定的u∈(0.1),映射Fu:(0,+∞)×Ω→R,(t,x)→t3f(x,u)是凸的.如果fu≤0,那么(A2)成立情形4:f=f(u,▽u)设对每一个固定的u∈(0,1),映射Fu:(0,+∞)×Sn-1→R,(t,p)→t3f(u,p/t)是凸的.当.九≥0时,(A1)成立;当fu≤0时,(A2)成立,情形Jf=f(x,u,▽u)设对每一个固定的u∈(0,1),映射Fu:(0,+∞)×Ω×Sn-1→R,(t,x,p)→t3f(x,u,p/t)是凸的.当fu≤0时,(A2)成立.推论0.0.7.设Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中的有界光滑凸区域,并且Ω1(?)Ω0.记Ω=ΩuΩ1设u满足Dirichlet边值问题这里f∈C2(R),单调递增,并且f(0)=0.记u的水平集的高斯曲率为K.那么,我们有下述估计Ⅳ.p-调和函数水平集的高斯曲率关于函数高度的凹性定理0.0.8.设u满足Dirichlet(?)司题其中Ω0和Ω1是Rn(n≥2)中的有界光滑严格凸区域,并且Ω1(?)Ω0,1<p<+∞.对t∈(0,1),记Ωt={x∈Ω:u(x)=t}.设u的水平集的高斯曲率为K.对t∈[0,1],定义函数f(t)=x∈Ωtmin(|▽u|n=1-2pK)1/n-1(x).那么,f(t)是区间[0,1]上的凹函数.即对任意的x∈Ωt,我们有下面的不等式(|▽u|n=1-2pK)1/n-1(x)≥(1-t)δΩ0max(|▽u|n+1-2pK)1/n-1+tδΩ1(|▽u|n+1-2pK)1/n-1.进一步,当u为球上的p-Green函数时,相应的f(t)是仿射函数.