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众所周知,非线性微分方程解析解和对称的研究一直是热门课题,这些研究有助于解释一些重要的物理现象.本文以几类非线性微分方程为研究对象,基于Bell多项式和Hirota双线性方法构造几种不同的解析解,并且分析这些解的传播特点;借助对称理论和Painlev′e截断展开法,建立方程的非局域对称及守恒律.第一章,简要介绍了孤立子理论知识及相关方法的研究背景及意义,并给出了本文将要研究的主要内容.第二章,首先介绍了Hirota双线性导数和Bell多项式的一些预备知识,然后成功得到了(3+1)维Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的双线性表达式,并且找到了该方程的孤子解.借助获得的双线性形式,通过发展homoclinic呼吸测试法,分别构造了(3+1)维KP方程和(3+1)维广义非线性方程的呼吸波解及怪波解.此外,我们发现一种有趣的现象,即在某种特定条件下,呼吸波解是可以退化成为怪波解的.第三章,基于Hirota双线性方法获得了广义(3+1)维Kadomtsev-PetviashviliBoussinesq(KP-Boussinesq)方程、(2+1)维Korteweg-de Vries(KdV)方程和(2+1)维广义KdV方程的双线性形式,并成功构造了它们的lump解及相互作用解.关于(3+1)维KP-Boussinesq方程和(2+1)维KdV方程,在其双线性表达式的基础上,通过引入恰当的密度函数,推导出它们的lump解和lump解与孤子解相互作用的混合解.对于(2+1)维广义KdV方程,基于其孤子解,通过推广长波极限法得到了它的M-lump解,同时lump解与孤子解及lump解与呼吸波解的混合解也被成功构造.此外,通过图像模拟分析了上述解的动态演化特征.第四章,将Painlev′e截断展开法发展到广义Ito方程,得到了该方程的非局域对称.通过引入新的变量并解决相应的初值问题,进而得到了相应的对称群变换定理.再借助一致Riccati展开(CRE)方法证明该方程可解,随后构造其孤子-椭圆余弦周期波解.此外,推广Lie对称分析法并根据伴随方程,详细推导了该方程的守恒律.第五章,我们研究扰动非线性薛定谔方程.通过推广拟设法,首次得到扰动非线性薛定谔方程的亮孤子解和暗孤子解,并给出了存在的条件.选取合适的参数再结合数学软件作出的图像,分析了亮、暗孤子解的动态传播情况.相似的方法,进而系统地构造了该方程的复孤子解和幂级数解.第六章,对本文研究内容的简单总结以及后期工作的相关展望.