无网格方法是继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法,具有前处理简单、计算精度高等特点,是目前计算科学的研究热点之一.目前无网格方法的数学理论研究较少,而任何一种数值方法如果没有数学理论的支持就不可能得到很好的发展和应用,因此研究无网格方法的数学理论是非常必要的.本文对插值型移动最小二乘法进行了研究,得到了改进的形函数公式，然后研究了插值型移动最小二乘法及其无网格方法的误差估计.主要内容如下：为减少插值型移动最小二乘法的系数矩阵的奇异性,提高计算精度,本文对其使用的奇异权函数的形式进行了改进,并证明了Lancaster形函数公式中的一些内积为零,从而得到了比Lancaster的结果更为简单的插值型移动最小二乘法形函数公式.插值型移动最小二乘法的优点是:形函数满足Kronecker δ函数的性质,使得基于插值型移动最小二乘法建立的无网格方法可以直接引入边界条件；同时插值型移动最小二乘法试函数中待定系数个数比一般的移动最小二乘法少一个,可以提高计算效率.研究了插值型移动最小二乘法的误差估计.分别研究了一维和n维情形下插值型移动最小二乘法的逼近函数及其一阶和二阶导数的误差估计.理论结果显示,插值型移动最小二乘法的逼近函数及其导数的误差精度与原函数的光滑性,基函数的阶次以及影响域半径有密切关系.提出了两点边值问题的插值型无单元Galerkin方法.与传统的无单元Galerkin方法相比,插值型无单元Galerkin方法具有直接施加边界条件的优点.通过对形函数空间函数逆性质的证明,研究了两点边值问题插值型无单元Galerkin方法的解及其各阶导数的误差估计.对插值型移动最小二乘法的超收敛性进行了研究,给出了插值型移动最小二乘法的逼近函数及其一阶导数在一维空间的超收敛点.通过数值算例,研究了两点边值问题的插值型无单元Galerkin方法在插值型移动最小二乘法超收敛点上的超收敛特性.数值结果显示,利用这些超收敛点可以重构出具有更高精度的数值解.基于插值型移动最小二乘法建立的二维势问题的插值型无单元Galerkin方法具有直接简单施加边界条件的优点.由于二维势问题的插值型无单元Galerkin方法的解空间并非是相应变分问题解空间的子空间,使得Ce引理在二维势问题的插值型无单元Galerkin方法中不能成立,因而二维势问题的插值型无单元Galerkin方法的误差估计比一维情形的误差估计更加复杂.利用有限元中的抽象误差估计,本文研究了二维势问题的插值型无单元Galerkin方法的解及其一阶偏导数的误差估计,并通过数值算例验证了本文的理论结果.利用插值型移动最小二乘法的误差估计,研究了二维势问题的插值型边界无单元法的误差估计,研究了插值型边界无单元法解的误差和影响半径与系数矩阵条件数之间的关系,并通过数值算例验证了本文的理论结果.本文工作丰富了无网格方法的数学理论,可促进无网格方法及其数学理论的进一步发展.