大多数分数阶偏微分方程的解析解很难得到,因此,研究精确、稳定且高效的分数阶偏微分方程数值解法是十分必要和重要的.在过去的几十年,许多优秀的数值方法如有限差分法、有限元法、有限体积法和谱方法等已经被用来求解分数阶偏微分方程.保持原问题某些特性的数值方法,在稳定性、长时间模拟和抑制非物理震荡等方面有显著优势,但是构造具有这一特性的数值方法常常是很困难的.本文主要研究几类分数阶波方程和麦克斯韦方程组的保能量数值方法,包括分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程组,空间分数阶Boussinesq方程以及强耦合非线性空间分数阶阻尼波方程组.本文共五章,具体的研究内容如下:第一章简要地介绍了分数阶导数的定义和性质,给出了本文的研究背景和内容.第二章研究了空间分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程组的能量守恒线性差分方法.使用能量方法和“cut-off”技巧,证明了其差分解在L∞-和L2-范数下有O(△t2+h2)阶精度,并且是无条件收敛和稳定的.数值结果验证了此格式的有效性和理论结果的正确性.第三章发展了空间分数阶Boussinesq方程的能量守恒分裂的有限差分方法及理论.通过引入势能方程和边界条件,将原问题转化为等价的分数阶抛物方程组.对获得的方程组构造能量守恒的Crank-Nicolson格式.运用能量方法,证明了此格式的解在L∞-范数下以O(△t2+h2)的收敛率无条件收敛.提出一个新的线性迭代算法应用到此格式的数值计算.第四章研究了一类强耦合非线性空间分数阶阻尼波方程的两个新颖有效的能量耗散的差分方法.其中一个是两层全隐差分格式,另一个是基于能量二次化方法构造的三层线性差分格式.我们严格证明了这两种格式解的能量耗散性、存在性、无条件收敛性和稳定性.运用能量法,获得了其解在L∞-范数下有O(△t2+h2)阶精度.数值结果模拟了这两种格式解的物理性态和无条件能量稳定性,验证了理论结果的正确性.第五章致力于二维麦克斯韦方程组的两类新的保能量局部网格细化的分裂时域有限差分格式(EP-LMR-S-FDTD)的构造和数值分析.在局部网格细化下,定义保持能量守恒和具有高阶精度的局部界面格式是一项极具挑战性的工作.本章重要的特点是,在粗细网格的界面上,提出有效的局部界面格式.它们可以确保能量守恒性质,保持空间高阶精度和避免虚拟震荡.同时,我们对EP-LMR-S-FDTD格式提出了一个快速实现算法,它克服了求解“刀叉型结构”的困难.我们证明了 EP-LMR-S-FDTD格式是能量守恒和无条件稳定的.而且我们获得了 EP-LMR-S-FDTD格式的收敛性.数值实验证实了EP-LMR-S-FDTD格式的高效性,进一步验证了理论结果.