曲线曲面的插值与重建是计算机辅助设计和图形学中的重要课题.本文针对四次和五次PH曲线的几何特征及Hermite插值问题与曲线曲面重建中的若干问题进行了系统研究.PH曲线的应用十分广泛,如机械零件的设计、公路与铁路的设计以及机器人运动轨迹生成等.曲线曲面重建则是近几年来随着三维数据采集技术的飞速发展而出现在计算机辅助设计、计算机图形学、医学领域的一个热点问题.曲线曲面重建的技术被广泛地应用于计算机图形建模,医学成像和逆向工程等领域.本文的主要研究成果如下.首先围绕Bezier形式的平面PH曲线的几何特征及Hermite插值问题,本文主要贡献有:（一）给出了平面四次Bezier曲线为PH曲线时其控制多边形满足的充分必要条件.本文从平面PH曲线的定义出发,利用平面参数曲线的复数表示方法得到平面曲线为PH曲线的充分必要条件,并通过引入一些辅助顶点得到了控制多边形的几何特征;讨论了G¹的Hermite插值的几何构造方法.给定两点两切向,首先构造控制顶点P₂的轨迹曲线段,在选定P₂后,控制顶点P₁,P₃即被确定,从而得到要求的PH曲线.（二）平面五次PH曲线可以分为两类:本原的和非本原的.已有的研究工作主要针对本原的五次PH曲线,本文则主要讨论了非本原的五次PH曲线.与四次曲线类似,推导了五次Bezier曲线为非本原的PH曲线时其控制多边形满足的充分必要条件,进一步讨论了C¹的Hermite插值的几何构造方法.给定Hermite插值条件,文中给出了一个关于控制多边形其中一条辅助边的一元四次方程,通过数值求解该方程和几何约束条件求得控制多边形,并得到插值曲线.接下来围绕从点云重建曲线曲面的问题,本文提出了两个不同的算法:（一）针对噪声较少且定向的法向信息可以由仪器或估计得到的点云,本文给出了一个基于径向基函数的算法.由于径向基函数的插值方法在处理重建曲面问题时会耗费大量存储空间,因此在目前的PC上往往只能处理很少数据的点云.本文方法将点云分割,对每一块分割得到的点云都用径向基函数方法拟合得到一个隐式函数,再用函数混合的方法得到最终的拟合所有数据点的隐式函数.利用Marching cubes方法提取等值面得到三角网格曲面.每个方块内点云的重建过程可以并行实现,因此该方法适用于对重建速度要求较高的场合.（二）当点云中含有较大的噪声时,法向不易估算,许多依赖法向进行重建的算法因而失效,因此本文提出了一种基于Delaunay三角剖分的点云形状的定义,利用这个概念进一步给出了一种曲线曲面重建算法.通过细化点集的Delaunay三角剖分,使得在点云中的点周围形成空间上的局部均匀采样;基于集合论中的基本概念定义点云中的内点、外点和边界点,并且明确地定义了点云的形状,根据Delaunay三角剖分细化时参数的选择可以得到不同层次的点云的形状;选择合适的参数得到形状后,再通过薄化过程得到具有流形结构的曲线曲面.