【摘 要】
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本文用代数方法对图论中目前广泛研究的以下几个问题进行了分析研究：1.独立集问题；2.覆盖问题；3.匹配与完美匹配问题；4.BB-染色问题；5.全染色问题；6.强染色问题；7.(k,d)-染色问题.针
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本文用代数方法对图论中目前广泛研究的以下几个问题进行了分析研究：1.独立集问题；2.覆盖问题；3.匹配与完美匹配问题；4.BB-染色问题；5.全染色问题；6.强染色问题；7.(k,d)-染色问题.针对研究这些问题的已有文献一般只用优化方法来求解极大或极小问题或只涉及某些特殊类型图的局限性,对于上面每个问题和任何一个有限图G及正整数k,本文通过引入G的k-计数问题,即k-独立集问题,k-覆盖问题,k-匹配问题,BB k-染色问题,k-全染色问题,k-强染色问题和(k,d)-染色问题,·分别建立了每个k-计数问题的一般多项式方程组模型；·用Grobner基方法给出各个k-计数模型解的存在性的有效判别准则；·在k-计数模型解的存在性确定的情况下给出具体的Grobner基求解方案；·并给出各个k-计数模型涉及的图的有关不变量(如色数)和极大或极小问题解.由于我们所建立的多项式方程组模型不受所给图的类型和大小的限制,而且Grobner基方法已经成为当今国际上使用计算机求解多项式方程组的一种非常成熟的,功能强大而有效的方法,本文所给出的结果不但对于解决每个任意给定图的这几类问题十分有效，对于解决某些猜想(如全可染色猜想)提供有效的验证帮助,而且对某些类似的离散数学问题的多项式方法建模及其Grobner基求解提供了有力的可行性依据.
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