带纯Neumann边界条件的三维线弹性问题在固体力学和计算材料学等许多领域中有一定的应用价值。有限元方法是数值求解三维线弹性问题的一种非常有效的离散化方法，但要高效求解相应的大规模线性代数系统仍然面临着许多困难。本文针对一类带纯Neumann边界条件的三维线弹性问题的线性有限元代数系统的适定性及其快速求解算法开展研究。首先，讨论了连续变分问题的适定性，并通过提出一种如何去掉刚度矩阵中冗余行的判定准则，论证了线性有限元代数系统的适定性，数值实验表明线性有限元误差函数在 L2(?)和L1(?)范数下均具有饱和误差阶。接着，针对线性有限元代数系统讨论了三类求解算法，其中重点研究了一种 Schur补求解算法和三种基于代数多层网格(AMG)法和高斯赛德尔迭代法(GS)的组合型预条件子，数值实验验证了所设计的Schur补求解算法和基于AMG的组合型预条件GMRES法的迭代次数和求解时间均优于常用求解方法ILU(0)-GMRES。特别地，AMG-GS-?EE-GMRES法的算子复杂度最低且求解效率最高。