Finsler几何就是度量没有二次型限制的黎曼几何([12]).早在1854年,B.Riemann提出后来所称的Finsler几何的概念,但他把具有二次型表示的度量(即通常所说的黎曼度量)作为自己的研究重点.1918年,P. Finsler在他的博士学位论文中研究了一般度量情形下的曲线与曲面([17]),Finsler几何由此得名.20世纪90年代以来,在陈省身先生的大力倡导下,Finsler几何获得了蓬勃的发展,把黎曼几何中许多重要的概念和结果推广到了Finsler几何中,比如体积比较定理([47]),调和映射([33],[45],[20]),子流形几何,Einstein度量([2], [10]), Gauss-Bonnet定理([7]),预紧性定理([46])等,并被广泛应用于物理学、生物学、信息与控制论和心理学中([1],[3],[5],[9]).调和映射是微分几何和理论物理中非常重要的学科分支,是测地线、极小子流形、调和函数等概念的自然推广.文献[32]提出了Finsler几何中的一些未解决的问题,其中之一就是Finsler流形间的调和映射.之后,许多学者对它作了大量的研究工作,包括第一、第二变分的计算,稳定性([33],[45],[20],[44]),存在性([34])和正则性([38],[36])等.文献[39]和[19]还研究了复Finsler流形间的调和映射.本文主要研究实Finsler流形间的调和映射,主要内容分为四部分,分别对应于四章.在第一章中,我们把黎曼流形上焦点的概念推广到了Finsler流形上,并给出了Finsler流形间的映射的一个刚性定理.第二章研究了Finsler流形上能量极小映射的正则性.第三章讨论了Finsler流形上调和映射与极小子流形的关系.第四章研究了具有一般形式的调和映射(即H-调和映射)的性质.0.1刚性定理首先介绍Finsler流形间调和映射的定义和主要结果.设Φ:(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的一个非蜕化光滑映射,即ker(dΦ)= 0.利用射影球丛SM诱导的体积元dVsM定义φ的能量为其中G-1表示n-1维单位欧氏球面Sn-1的体积,dVSM =Ωdτ∧dx,设Φt,t∈(—ε,ε)是φ的一个光滑变分,满足Φ0=Φ,Φt|(?)M=Φ|(?)M,其变分向量场为V=(?)|t-0.那末,能量泛函的第一变分为其中Gκ和Gα分别表示(M,F)和(M,户)的测地系数.称能量泛函的临界点为调和映射.由第一变分公式可知φ是调和的当且仅当对任意β有特别地,如果丁(φ)=0,则称φ为强调和映射.如果(?)(φ)=0,则称φ为全测地的.全测地映射的等价条件是b(?)dφ=0.如果目标流形是黎曼的,则φ非蜕化的条件是不需要的.如果M和M都是黎曼流形,则调和性和强调和性是一致的.如果调和映射φ的第二变分恒非负,则称其为稳定的.([45,20])Finsler流形间调和映射的刚性定理最早是运用内蕴平均变分法来研究的.比如,不存在从紧致Finsler流形到一类所谓的超强不稳定流形(包括n维单位欧氏球面,n>2)的非常值稳定的调和映射([44],[45]),也不存在从n维单位欧氏球面(n>2)到任意Finsler流形的非蜕化稳定的调和映射([20]).文献[22]中,作者对Finsler流形间的非蜕化映射运用Bochner技巧,得到了一类刚性定理.文献[54]中,作者通过在无焦点黎曼流形上构造凸函数,给出了得到黎曼流形间调和映射的刚性定理的另一种方法.无焦点黎曼流形包含具有非正截面曲率的黎曼流形.我们首先把黎曼流形上焦点的概念([40])推广到了Finsler流形上.设k(s) , s∈(—∈,∈)和c(t),t∈[0,1]是Finsler流形(M,F)上的两条测地线,且在p=c(0)处关于gc(o)正交.如果向量场J(t)是测地线c(t)的一个测地变分的变分向量场,且每条变分曲线都在初始点与k(s)关于gTs(0)正交,则称J(t)是k-Jacobi场,其中Ts(0)是沿κ(s)的线性平行向量场,且满足T0(0)=c(0).沿c(t)的Jacobi场J(t)是k-Jacobi场当且仅当满足下述初始条件gc(0)(DcJ(0),J(0))= 0, gc(0)(J(0),c(0))= 0.如果存在一个沿测地线c(t)的非平凡k-Jacobi场,且在c(t0)处消失,则称c(t0)是测地线κ(s)沿测地线c(t)的焦点.如果M上所有测地线都没有焦点,则称其为无焦点Finsler流形.无焦点Finsler流形具有下述性质：命题0.1.设(M,F)是向前完备的Finsler流形.(i)(M,F)具有非正旗曲率当且仅当沿任意测地线c(t)的Jacobi场J(t)满足(d2)/(dt2)gc(J,J)≥0;(ii)砂当F是可反的Finsler度量或是Berwald度量时,(M,F)无焦点当且仅当对任意t>0,d/dt(J,J)>0,其中J(t)是沿任意测地线c(t)的非平凡Jacobi场,且在t=0处消失,(iii)(M,F)无共轭点当且仅当对任意t> 0, gc(J, J)> 0,其中J(t)是沿任意测地线c(t)的非平凡Jacobi场,且在t=0处消失.并且,具有非正旗曲率的Finsler流形必定无共轭点.若F是可反的Finsler度量或是Berwald度量,则向前完备的Finsler流形(M,F)具有非正旗曲率时必定无焦点,无焦点时必定无共轭点.如果定义在Finsler流形(M,F)的某个开集U上的函数f在SU的任意点处满足(?)(f)≥0,则称f为凸函数([22]).如果(M,F)是黎曼流形,则(?)(f)≥0等价于(?)df是半正定的,也就是黎曼几何中凸函数的定义.我们可以在无焦点Finsler流形上构造一个凸函数：命题0.2.设(M,F)是单连通向前完备的无焦点Finsler流形,且F是可反的Finsler度量或是Berwald度量.那末,从(M,F)上任意点p出发的距离函数的平方在M\{p}上是凸的.注1.当(M,F)是黎曼流形时,从任意点出发的距离函数的平方在整个流形上是凸的([54]).φ：M→M是黎曼流形间的调和映射当且仅当它把M上的凸函数映为M上的次调和函数([18]).我们在Finsler流形上得到了类似的结果.命题0.3.设Φ:(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的映射,f是(M,F)上的凸函数.(i)当φ是非蜕化全测地映射时,∫SxM△g(fοΦ)Ωdτ≥0;(ii)当(M,F)是黎曼流形且φ是强调和映射时,△g(f。φ)≥0；其中△g表示射影球丛SM上关于黎曼度量g的Laplace算子.运用命题0.2和命题0.3就可证得下列定理,从而推广了[54]的结果.定理0.4.设(M,F)是具有有限基本群的紧致n维Finsler流形,(M,F)是向前完备无焦点的m维Finsler流形,并且F是可反的Finsler度量或是Berwald度量.如果n<m,则不存在从(M,F)到(M,F)的非蜕化全测地映射.而且,如果(M,F)是完备的无焦点黎曼流形,则从(M,F)到(M,F)的任一强调和映射必是常值映射.0.2正则性定理黎曼流形间调和映射的存在性可以用变分直接法得到([37],[23],[25]),它的正则性已经由C. B. Morrey ([37]), Schoen和Uhlenbeck ([42,43])证明.对于Finsler流形间的调和映射,也有许多关于存在性和正则性的工作.2005年,X. H. Mo和Y. Yang证明了从Finsler流形到黎曼流形的调和映射的基本存在定理([34]).之后,H. von der Mosel和S. Winklmann证明了像包含在一个正则球内的弱调和映射是局部Holder连续的([38]).最近,X. H. Mo和L. Zhao证明了从无边界的Finsler曲面到球面的弱调和映射是光滑的([36]).讨论从Finsler流形到黎曼流形的映射的一种方法,是用Finsler度量的基本张量构造一个黎曼度量,使得该映射转化为从具有诱导黎曼度量和诱导体积元的黎曼流形到黎曼流形的映射.具体地说,设Φ:(M,F)→(N,h)是从n维Finsler流形(M,F)到m维黎曼流形(N,h)的光滑映射.φ的能量定义为令(gij):=(gij)-1,则g:=fij(x)dxi(?)dxj是M上的黎曼度量([34]).因此其中|dΦ|2/g表示关于黎曼度量g的模长,i.e.|dΦ|2/g=gij(x)ΦiαΦjβhαβ(Φ(x)).此时,Finsler流形(M,F)就可以看成是一个具有诱导黎曼度量g和诱导体积元σ(x)dx的黎曼流形(M,g,σ).如果φ是能量泛函的临界点,则称其为调和映射.运用Nash嵌入定理,把N等距嵌入到某个欧氏空间Rκ中.通过直接计算,我们得到调和映射的几个等价条件：命题0.5.下述诸论述是等价的:(ⅰ)光滑映射φ是调和的;(ⅱ)砂对任意a,映射φ满足微分方程ΔσΦα+gijTβγαΦiβΦjγ=0,其中是(N,h)的联络系数;(ⅲ)△σψ位于N的法丛上,其中Ψ=iοΦ,i为等距浸入;(ⅳ)ΔσΨ+trgA(Φ)(dΦ,dΦ)=0([34]), (2)其中A(φ)是N在Rκ中的第二基本形式.设W1,2(M,Rκ)是M到Rκ的映射构成的Sobolev空间.对于任何Φ∈W1,2(M,Rk),其弱导数的平方可积,且具有Hilbert范数定义W1,2(M,N):={Φ∈W1,2(M,Rk):Φ(x)∈Nα.e.x∈M}.如果Φ∈W1,2(M,N)是能量泛函的临界点,我们就称其为弱调和映射,也就是说φ在分布意义下满足Euler-Lagrange方程(2)([34]).如果对于任何映射Ψ∈W1,2(M,N),且在M的边界上满足φ=ψ,有E(Φ)≤E(Ψ),则称映射Φ∈W1,2(M,N)是能量极小映射(E-极小映射).显然,能量极小映射Φ∈W1,2(M,N)是弱调和的.如果φ在x∈M的一个邻域中是连续的,则称x为正则点.令(?)=(?)(φ)为所有正则点的集合,(?)=(?)(φ)是正则点集在M中的补集,即6是φ的奇异点集.设Rj是j维欧氏空间.如果φ是从Rj\{0}到任意黎曼流形的调和映射,且在从原点出发的射线上是常值,则称其为切映射.如果切映射φ在Rj的任意紧致子集上能量极小,则称其为极小切映射.([42])能量极小映射的存在性可以通过变分直接法得到.文献[42]和[43]研究了黎曼流形间能量极小映射的正则性.运用它们的方法,我们考虑了起始流形是Finsler流形的情形,得到了下述两个正则性定理,从而推广了[42]和[43]中的结果.定理0.6.设(M,F)是n维紧致Finsler流形(n≥3),N是紧致黎曼流形,Φ:M→N是W1,2(M,N)中的能量极小映射.那末,dim(?)((?)∩intM)≤n-3,其中dim(?)A是集合A的Hausdorff维数,(?)是φ的奇异点集,intM表示流形M的内部.如果n=3,则6是离散点集.进一步地,如果存在整数l≥3,使得任何从Rj到N的极小切映射是平凡的,其中3≤j≤l,则dim(?)((?)∩intM)≤n-l-1.如果n=l+1,则(?)是离散点集;如果n<l+1,则(?)=(?).定理0.7.设(M,F)是n维紧致Finsler流形(n≥3),N是紧致黎曼流形,φ：M→N是W1,2(M,N)中的能量极小映射.设Ψ∈C2,α((?)M,N)且Φ|(?)M=Ψ,其中(?)M表示M的边界,则φ的奇异点集(?)是M内部的紧致子集.特别地,φ在(?)M的邻域中是C2,a的.当n=2时,我们得到了下述结果.定理0.8.设Φ∈W1,2(M,N)是从Finsler曲面(M,F)到紧致黎曼流形N的能量极小映射.当M有边界аM时,存在Ψ∈C∞((?)M,N)且Φ|(?)M=Ψ那末,φ是光滑的.注2.当(M,F)是无边界的Finsler曲面,N是球面时,定理2.3是文献[36]中定理的推论.0.3调和映射与极小子流形除了映射的能量变分,Finsler几何中另一类基本的变分问题是浸入子流形的体积变分,其临界值称为极小子流形([21,48]).文献[21]中,运用射影球丛诱导的体积元,作者研究了Finsler极小子流形,并证明了等距浸入为调和映射的充要条件是它为极小浸入.文献[59]研究了黎曼流形间的共形映射,并证明当起始流形的维数n>2时,共形浸入是调和的充要条件为它是极小的,且是相似映射；当n=2时,共形浸入是调和的充要条件为它是极小的.Finsler曲面上调和映射的共形不变性已在[36]中利用幺正标架法证明.在本章中,我们利用自然标架法给出了一种更简单的证明,并由此得到两个存在性定理.命题0.9.若dimM=2,则存在稳定的调和映射Φ:(M,F)→(M,h),其中F是共形平坦的Finsler度量,h是平坦的黎曼度量.命题0.10.若dimM=2,则存在稳定的调和映射Φ:(M,h)→(M,F),其中h是任意的黎曼度量,F是Minkowski度量.然后,我们讨论了当Finsler流形间的浸入是共形时调和映射和极小子流形的关系,得到了下述两个定理.这部分内容是和康琳共同完成的.定理0.11.设Φ:(M,F)一(M,F)是Finsler流形间的相似浸入,则φ是调和的充要条件为φ(M)是(M,F)的极小子流形.设入:=supx∈Mλ(x). (3)称λ为一致常数([15]).显然,当M为黎曼时,λ=1.λ(x)大于等于可反系数‖I‖:=supx∈M‖I‖(x),称‖I‖(x)为Cartan形式I在x∈M处的模长,‖I‖为Finsler流形(M,F)上I的模长([50]).显然,当M为黎曼流形时,‖I‖=0.定理0.12.设Φ:(Mn,F)→(M,F)是共形浸入.如果n>2,φ是调和映射,‖I‖λ<n-2/2,则φ是相似浸入,其中λ为一致常数,‖I‖为(M,F)的Cartan形式的模长.注3.当n>2,φ是黎曼流形间的共形浸入时,‖I‖λ<n-2/2的条件显然满足.所以,定理0.11和定理0.12推广了[59]中的结果.0.4 H-调和映射在文献[4]中,M.Ara推广了黎曼流形间调和映射、P-调和映射和指数调和映射的概念,引入了H-能量和H-调和映射的概念([4]中称为F-能量和F-调和映射),并研究了其性质.对于Finsler流形间的调和映射,许多学者已经做了大量的研究([33],[34],[45],[20],[22],[44]).文献[26]和[27]分别研究了Finsler流形间的P-调和映射和指数调和映射.在本章中,我们研究了一般情形的调和映射,得到了能量泛函的第一、第二变分公式和一些稳定性定理,并引入H-应力-能量张量的概念,讨论其若干性质.文献[28]也研究了Finsler流形间的H-调和映射([28]中称为F-调和映射).但本文给出了第一变分公式的另一种表达式,并由这种表达式得到了更简洁的第二变分公式,从而简化了稳定性定理的证明.设H：[0,∞)→[0,∞)是严格递增的C2函数,Φ:(Mn,F)→(Mm,F)是非蜕化光滑映射,i.e.ker(dΦ)=0.定义φ的H-能量为其中|dΦ|2=gijΦiαΦjβgαβ.当H(t)分别等于(P≥4)和et时,EH(φ)分别是映射的能量([33],[45],[20]),P-能量([26])和指数能量([27]).如果映射φ是H-能量泛函的临界点,则称其为H-调和映射.如果H-调和映射φ的H-能量泛函EH(φ)的第二变分总是非负的,则称其为稳定的.([28])通过直接计算得到H-调和映射的第一变分公式.定理0.13.设Φ:(Mn,F)→(Mm,F)是非蜕化光滑映射,φt是φ=φ0的一个光滑变分,其变分向量场是V=(?)|t=0.那末,φ的H-能量泛函的第一变分为其中τH(Φ)=▽lH(QdΦl),因此φ是H-调和映射当且仅当对于任意的β有注4.对于调和映射,P-调和映射和指数调和映射,Q的值分别为n([20]),[28]得到H-能量泛函的第一变分公式为其中如果TH(φ)=0,则称φ为强H-调和映射.利用射影球丛纤维上的散度公式,我们可以直接由(4)得到(5).并且我们给出了两个H-调和映射的例子.例1：对于任何Finsler流形(M,F),恒等映射Id:(M,F)→(M,F)是强H-调和的.例2：能量密度为常值的调和映射是H-调和的.特别地,当映射φ是等距浸入时,下述三个条件等价：(i)φ是极小浸入；(ii)φ是调和映射；(iii)φ是H-调和映射.运用(4),直接计算得到H-调和映射的第二变分公式.定理0.14.设Φ:(Mn,F)→(Mm,F)是非蜕化光滑映射,φt是φ=φ0的一个光滑变分,其变分向量场是V=(?)|t=0.那末,φ的H-能量泛函的第二变分为其中注5.黎曼流形间光滑映射的第二变分公式已在[4]中给出.对于调和映射,P-调和映射和指数调和映射,第二变分公式已分别在[20],[26]和[27]中给出.当(M,F)是黎曼流形时,我们有下述稳定性定理：定理0.15.设φ是从Finsler流形(M,F)到黎曼流形(M,F)的H-调和映射.如果Hn≥0,且(M,F)具有非正截面曲率,则φ是不稳定的.注6.当M为黎曼流形时,定理0.15即为[4]中定理6.2.当φ为调和映射时,定理0.15已在[20]中给出.P-调和映射和指数调和映射均满足H≥0的条件.利用变分直接法([53]),我们得到了以下三个Liouville型定理.定理0.16.设φ是从单位球面Sn到任意Finsler流形(Mm,F)的非蜕化H-调和映射.如果则φ是不稳定的.注7.对于调和映射和P-调和映射,(4.4.1)分别推出n>2([20])和n>P([26]).对于指数调和映射,当|dφ|2<n-2时([27]),(4.4.1)成立.定理0.17.设(Mm,g)是欧氏空间Rm+q的具有平坦法丛的黎曼子流形.设Hα=(hαβα)m×m,α=m+1,…,m+q,其中h是Mm在Rm+q中的第二基本形式.如果对于任意的a,Ha处处正定,且主曲率处处满足其中λmaxa=max{λ1α,…,λmα),λminα=min{λ1α,…,λmα),则不存在从紧致Finsler流形M到上述黎曼流形Mm的非常值稳定H-调和映射.注8.文献[59]研究了从黎曼流形到超曲面的调和映射的稳定性,所以定理0.17中情形(ii)推广了它的结果.对于P-调和映射和指数调和映射,定理0.17中的主曲率分别要求满足我们还找到一类椭球面作为定理0.17中所述子流形的例子.例3：设中的椭球面,其中0<a1≤…≤am+1.令当(P<m),μ<(m/(C+2))1/3(C=inf(x,y,)∈TM|dΦ|2),resp.)时,不存在从任何紧致Finsler流形M到上述椭球面M的非常值稳定调和(P-调和,指数调和,resp.)映射.文献[60]研究了黎曼流形与椭球面之间调和映射的稳定性,所以定理0.17推广了它的结果.定理0.18.设φ是从紧致Finsler流形(Mn,F)到单位球面Sm的非常值H-调和映射.若则φ是不稳定的.注9.对于调和映射和P-调和映射,(4.4.13)分别推出m>2([45])和m>P([26]).对于指数调和映射,当|dφ|2<m-2时([27]),(4.4.1)成立.文献[4]研究了黎曼流形间映射的H-应力-能量张量.[34]研究了从Finsler流形到黎曼流形的映射的应力-能量张量.[22]研究了Finsler流形间的映射的应力-能量张量.我们引入了Finsler流形间非蜕化光滑映射φ的H-应力-能量张量的定义：推广了上述文献中的结果.定理0.19.设φ：(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的非蜕化光滑映射,则对于H-应力-能量张量SH(φ)有(divgSH(Φ))(l)=-<τH(Φ),dΦl>g,其中divg表示(SM,g)上的散度.特别地,当φ是强H-调和映射时,(divgSH(Φ))(l)= 0.如果对任意Y∈C(HTM),∑i=1n(DeiSH(Φ))(ei,Y)=0成立,其中D表示黎曼流形(SM,g)上的Levi-Civita联络,{ei}是水平空间HTM的一组幺正基,则称SH(φ)是水平散度为零的.定理0.20.设φ是从Finsler流形(M,F)到黎曼流形(N,h)的浸没,则以下任意两条件蕴涵第三者:(ⅰ)φ是强H-调和映射;(ⅱ)H-应力-能量张量SH(φ)是水平散度为零的;(ⅲ)投影映射π：SM→M具有极小纤维.定理0.21.设Φ:(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的非蜕化光滑映射,Ψ是余切丛T*M的拉回丛π*T*M上具有紧致支集的光滑截面,则对于H-应力-能量张量SH(φ)有下式成立：其中divg表示(SM,g)上的散度,c(?)H表示陈联络的水平共变导数.定理0.22.设Φ:(M,F)→(M,F)是Finsler流形间的共形强H-调和映射,且其中n=dim M,则φ是相似映射.注10.对于调和映射,P-调和映射和指数调和映射,(4.5.9)分别表示n≠2([22]),n≠P和|dφ|2≠n-2.