尽管CFD方法和计算技术都取得了长足的进展，高超声速流动的数值模拟仍然存在巨大的挑战。目前应用于高超声速流动模拟的激波捕捉方法通常会遭遇激波不稳定问题，如著名的“痈”（carbuncle）等激波异常现象。对于简单的流动问题，准确的流场结构一般是可以预知的，激波异常流场的识别是相对容易的。然而，实际的数值计算往往涉及复杂的几何外形和复杂的流动现象，如果产生激波不稳定等异常现象，几乎无法对准确流场与异常流场做区分。这一困难大大降低了现有CFD方法的可靠性，影响了它们在高超声速流动中的应用。因此，研究激波捕捉方法的数值稳定性对于提升现有CFD方法的可靠性，实现高超声速流动的准确预测具有十分重要的意义。
　　综合应用线性扰动分析与数值试验相结合的研究方法，针对典型的Godunov型激波捕捉格式进行了数值耗散性分析，阐明了不同类型激波捕捉方法对线性退化波的数值耗散特性。研究发现，熵波与剪切波的数值黏性对激波稳定性具有不同的影响作用，与熵波相关的数值耗散并不能够有效地抑制数值激波不稳定，而与剪切波相关的数值耗散则能够有效地稳定激波。采用数值试验的研究方法，针对大量的激波捕捉格式进行了激波稳定性的试验研究，研究发现导致激波不稳定的扰动来源于数值激波结构内部，如果激波前后质量流量能够保持一致，那么激波捕捉格式则是稳定的。与线性扰动分析相结合，本文进一步阐明了数值激波不稳定的发生机理。研究发现导致激波不稳定的扰动产生于激波结构内部并随着熵波与声波向激波下游传播，继而导致激波后出现非物理的扰动误差，引发激波前后质量流量的不一致，最终导致激波不稳定的发生。
　　从热力学第二定律出发，综合运用熵产生分析与数值试验相结合的研究方法，对激波捕捉方法的数值熵产生与激波稳定性之间的关系进行系统性的研究，研究揭示了数值激波不稳定的内在机理。研究发现数值激波不稳定问题是由于激波结构内部不适量的熵产生所引起的。如果激波捕捉方法能够保证激波结构内部产生足够的熵，那么数值格式捕捉到的激波将是稳定的。基于研究结论，本文提出了治愈低耗散激波捕捉方法数值激波不稳定问题的熵控制法，该方法可以应用于多种激波捕捉格式，具备一般性。不同于已有的激波不稳定修正方法，熵控制法并不依赖于额外的数值黏性抑制激波不稳定，从而不影响原有格式的求解精度，非常适合于高超声速复杂流动问题的计算。
　　为了满足全速域流动对数值方法的要求，本文针对激波捕捉方法在低马赫不可压缩极限下的数值特性展开了理论分析与数值试验研究。采用全马赫修正法将适用于可压缩流动的激波捕捉方法拓展到低马赫不可压缩流域。结合抑制数值激波不稳定的熵控制法，本文提出了一种构建全速域格式的简单框架，该全速域修正框架具有一般性，适用于多种激波捕捉格式。采用一系列多种复杂的验证算例验证了典型全速域格式的求解精度与鲁棒性，试验结果表明全速域激波捕捉方法能够准确稳定地模拟全速域范围内多种复杂的流动问题。