【摘 要】
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1973年，Black&Scholes的开创性论文“期权定价与公司债务”的发表，标志着金融衍生证卷定价理论的诞生。为了得到Black&Scholes公式，我们假设标的资产为价格服从对数正态分布的单
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1973年，Black&Scholes的开创性论文“期权定价与公司债务”的发表，标志着金融衍生证卷定价理论的诞生。为了得到Black&Scholes公式，我们假设标的资产为价格服从对数正态分布的单支股票，其波动率和无风险利率都为常数，并假设股票在期权执行之前不支付利息。但是，在实际金融市场中，我们常需要考虑些期权，它们的价格由多个风险因素决定，例如标的资产是多支股票，期货、甚至多种货币或者一种外币的多种组合，波动率或者无风险利率具有随机性等。在这些条件下，可利用倒向随机微分方程和鞅方法，建立具有变系数的多维Black-Scholes公式。 我们知道，一维Black-Scholes公式是一个抛物型偏微分方程，我们可以得到它的解析解。类似的，多维Black-Scholes公式通常为带混合导数的高维抛物型偏微分方程：以上方程的解析解很难具有显示表达式，而且由于符号的繁冗以及计算的复杂性，得到其近似解的方法始终困扰着我们。对于这类方程，我们有很多数值方法来近似：蒙特-卡罗模拟方法，二叉树方法，以及偏微分方程数值解法(有限差分、有限元、有限体积法等)。由于蒙特-卡罗模拟的计算量不以指数形式增长，多被采用于解决高维问题。但是我们知道蒙特-卡罗模拟方法具有稳定性不确定的缺陷，因此在考虑具有可提前执行性质的美式期权定价问题时，更倾向于采用偏微分方程数值解法。 本文以二维问题为例，来研究多维Black-Scholes公式的数值近似方法。例如，随机波动率下的期权定价问题。对于欧式期权定价问题，其价格可以通过近似一个偏微分方程得到，该方程通常为一个含有二阶混合导数的变系数对流扩散方程。在使用偏微分方程数
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