【摘 要】
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本文考虑如下S-L问题： BVP（1.1） 其中R1（u（?））=?u（?）??p（?）u?（?）, R2（u（1））=?u（1）??p（1）u?（1）, f（x,u）连续,关于u满足局部李氏条件,且对于固定的x, f（x,u）关于u是奇函数, f（x,?）??,uf（x,u）>?,当u??.当f（x,u）关于u是次线性时,1962年G.H.Pimbley用相平面
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本文考虑如下S-L问题： BVP（1.1） 其中R1（u（?））=?u（?）??p（?）u?（?）, R2（u（1））=?u（1）??p（1）u?（1）, f（x,u）连续,关于u满足局部李氏条件,且对于固定的x, f（x,u）关于u是奇函数, f（x,?）??,uf（x,u）>?,当u??.当f（x,u）关于u是次线性时,1962年G.H.Pimbley用相平面的方法给出了BVP（1.1）解的全局结构（见[1]）.上世纪八、九十年代之后人们开始用拓扑度和迭合度的方法（自治方程有时用时间映射）研究超线性BVP（1.1）正解,多重解的存在性（见[2]-[7]）.但是由于拓扑度方法本身的局限性,这些文章未能给出超线性BVP（1.1）解的全局结构.本文受文[1]的启发,应用相平面的方法研究了超线性BVP（1.1）.本文的主要结果如下.设limu?? f（x,u）?u=?（x）,limu?? f（x,u）?u=?（x）,fu??,ufuu>0,当u??.令??n?和??n?分别表示边值问题 和 的特征值,则我们有 定理1 如果上述条件满足,则区间??n??n?（n ?1）属于BVP（1.1）的谱集.当????n??n?时 BVP（1.1）至少存在两个符号相反的解un?x???和?un?x???,它们在 （?,1）之间恰有n-1个零点。特别地当????1??1 ?时,BVP（1.1）至少存在一个正解和一个负解.而且 ?? un?x??? ??C[??????, ???n； ?? un?x??? ??C[??????, ???n.并对任意 m?(?,??,存在????n??n?使得BVP（1.1）存在非平凡解un?x???,满足?? un?x??? ??C[????=m. ?=?n是分歧点,这时?? un?x??? ??C[????=?.如果p（x）??,f（x,u）=f（u）,即BVP（1.1）是自治方程,则定理1中的“至少”和“属于”分别改为“恰有”和“组成”. 我们的结果给出了BVP（1.1） 解的全局结构一个相对清楚的描叙,特别是对于相应的自治方程特征问题我们更是给出了其解的全局结构一个完全清晰的刻划, 从而自然地蕴含了[2]-[7]中的结果.遗憾的是对于BVP（1.1） 当????n??n?时在（?,1）内有n-1个零点的解是否恰有两个以及当??[?n??n]时BVP（1.1）是否存在解尚不清楚.
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