近年来,数学竞赛蓬勃发展,越来越多的高中生参与到各类数学竞赛中.在国内外的各类数学竞赛中,其内容基本稳定在代数、几何、数论和组合四个方面.一方面来说,几何具有严谨的逻辑结构.另一方面,几何又具有直观清晰的图像.几何问题的解法丰富巧妙,深受学生们的喜爱.本文主要通过近几年国内外的数学竞赛题目,研究了同一平面内的圆幂与根轴、调和点列以及几何变换中的反演变换和位似变换等内容.第1章第1节介绍了数学竞赛的发展和现状.从第一届国际数学奥林匹克至今已经60余年了,各类数学竞赛作为发现、培养数学资优生的一条重要途径,备受人们的关注.虽然如今的数学竞赛面临着一些否定的声音,但其仍具有蓬勃的生命力.第2节介绍了竞赛几何在数学竞赛中的地位和意义.第2章在对关于圆幂与根轴的例题进行分析的基础上,给出了6个有关圆幂与根轴的新命题.第3章在对关于调和点列的例题进行分析的基础上,给出了5个有关调和点列的新命题.第4章研究了几何变换中的反演变换和位似变换,着重探究了反演变换的应用,并给出了3个有关几何变换的新命题.本文采用了文献分析的方法.几何的方法和代数的、数论的、组合的方法相辅相成,几何问题在数学竞赛中具有重要的位置.因此,几何的探究具有十分重要的意义.