【摘 要】
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Toeplitz算子和加权复合算子是全纯函数空间上算子理论中的两个重要研究对象,其主要目标意在建立算子的理论性质与其诱导符号的函数性质之间的关联.本文研究这两类算子的复对称性和Toeplitz算子的一些代数性质,包括交换性、可乘性以及交换子和半交换子的有限秩问题.在Hardy空间上,关于Toeplitz算子的这些代数性质已经有了较为完整的结果.但是在Bergman空间上,相似的问题变得十分困难,而
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Toeplitz算子和加权复合算子是全纯函数空间上算子理论中的两个重要研究对象,其主要目标意在建立算子的理论性质与其诱导符号的函数性质之间的关联.本文研究这两类算子的复对称性和Toeplitz算子的一些代数性质,包括交换性、可乘性以及交换子和半交换子的有限秩问题.在Hardy空间上,关于Toeplitz算子的这些代数性质已经有了较为完整的结果.但是在Bergman空间上,相似的问题变得十分困难,而且当处理高维情形时,往往会产生一些新奇有趣的现象.复对称算子的研究是最近发展起来的一个新的研究话题,鉴于此我们会对Toeplitz算子和加权复合算子的复对称性进行一些研究.本文共分为六章,安排如下.第一章给出了一些基本的定义和记号约定,之后我们简要介绍了本文的研究背景和前人的一些主要结果.第二章我们在单位多圆柱上的全纯B ergman空间和多重调和B ergman空间上,研究单项式型符号诱导的Toeplitz算子的交换子和半交换子的有限秩问题;此外,我们也给出了分别拟齐次符号诱导的Toeplitz算子的一些性质.第三章在一类弱拟凸域上的Bergman空间,我们继续研究单项式型Toeplitz算子的交换子和半交换子的有限秩问题.第四章研究Toeplitz算子的复对称性,空间为单位多圆柱和单位球上的全纯Bergman空间以及多重调和Bergman空间.第五章研究Hardy空间上加权复合算子的复对称性;我们给出了一类复对称的加权复合算子,它包含了所有的酉的和自伴的加权复合算子以及由Bourbon和Narayan给出的一类正规加权复合算子;此外,我们还刻画了阶数不超过2的代数加权复合算子,由此说明了复对称加权复合算子的权可以不必是线性分式映射.最后一章列举了一些需要进一步研究的相关问题.
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