【摘 要】
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本文主要研究了常微分方程仿射周期解的存在性问题,分别对一阶、二阶标量常微分方程,泛函微分方程,以及向量常微分方程仿射周期解的存在性作了相应的研究.在第一章第一节,我们简单地介绍了微分方程的起源、背景及其广泛的应用,同时介绍了解的结构和正规解的概念,以及本文研究的仿射周期解的定义和己有的工作.在第二节,我们介绍了Leray和Schauder的连续性方法,该方法在研究非线性方程方面是很基本的.在第三节
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本文主要研究了常微分方程仿射周期解的存在性问题,分别对一阶、二阶标量常微分方程,泛函微分方程,以及向量常微分方程仿射周期解的存在性作了相应的研究.在第一章第一节,我们简单地介绍了微分方程的起源、背景及其广泛的应用,同时介绍了解的结构和正规解的概念,以及本文研究的仿射周期解的定义和己有的工作.在第二节,我们介绍了Leray和Schauder的连续性方法,该方法在研究非线性方程方面是很基本的.在第三节.我们介绍上下解方法的历史以及关于边值问题的一些经典结果.在第四节.我们列出一些与本文研究有关的基本定理,主要是关于常微分方程适定性理论和拓扑度理论相关的结果.在第二章,我们建立了一维一阶仿射周期系统仿射周期解的存在性定理.在第一节,我们对耗散系统及其已有的工作作了简要的介绍.在第二节,我们建立了在[0.∞)上一阶耗散系统仿射周期解的存在性定理.在第三节,我们例举一些具体的例子作为主要定理的应用.在最后一节,我们将耗散系统仿射周期问题转化为耗散系统仿射周期边值问题,利用连续性方法.通过拓扑度理论和上下解技术证明了耗散系统仿射周期边值问题解的存在性.在第三章.我们建立了一维二阶仿射周期系统仿射周期解的存在性定理.首先,我们回顾了微积分里面的一个基本结论,基于此,对Nagumo引理作了简单的介绍,主要包括Nagumo引理的内容和证明,以及在Nagumo条件不满足时存在的反例.此外,我们在控制函数上添加一个正常数后,得到了一个类似版本的Nagumo引理.在第二节,我们介绍了二阶仿射周期系统的主要定理.在第三节,我们给出一些关于振动方程的具体例子作为主要定理的应用.在最后一节,我们将二阶系统仿射周期问题转化为等价的仿射周期边值问题,然后利用连续性方法,结合拓扑度理论和上下解方法证明了二阶系统仿射周期边值问题解的存在性.在第四章,我们研究了一阶泛函微分方程仿射周期解的存在性.首先,我们介绍了Schmitt,Hale和Lopes关于泛函微分方程周期解的经典结果.在第二节,我们列出关于一阶泛函微分方程仿射周期解存在性的结果.在定理证明之前的第三节,我们例举了几个具体的泛函微分方程作为主要定理的说明.最后,在第四节,我们首先将一阶泛函微分方程仿射周期解的存在性转化为该系统在仿射周期边值条件下解的存在性,然后利用连续性方法,通过拓扑度理论和上下解方法证明了边值问题解的存在性.在第五章,我们研究了非线性向量常微方程仿射周期解的存在性.首先,我们将仿射周期解问题转化为对应的仿射周期边值问题.其次,利用Opial的线性化方法来处理非线性系统边值问题,将其等价转化为对应的线性边值问题,在适当的渐近条件下,证明非线性系统仿射周期解的存在性.
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