本文用代数的结构性质及代数分解方法研究了三角代数上的一些映射.所讨论的映射包括:三角代数上的非线性广义Lie导子,零点ξ-Lie弱可导和零点ξ-Lie高阶弱可导映射,Lie不变映射和非线性(m,n)-Lie中心化子,非线性(m,n)-可导和非线性(m,n)-高阶可导映射.全文共分四章,主要内容如下:第一章介绍了本文选题的意义及背景,并回顾了国内外学者关于此课题的研究进展和成果,给出了后几章将用到的一些概念和结论.第二章研究了三角代数上的非线性广义Lie导子,证明了三角代数上的每一个非线性广义Lie导子都是一个可加的广义导子与一个在交换子上为零的中心值映射的和.此外,我们给出了三角代数上的零点ξ-Lie弱可导映射和零点ξ-Lie高阶弱可导映射的一般形式.第三章研究了三角代数上关于内导子空间Lie不变的线性映射,证明了此类映射都是一个Lie导子与一个中心元乘以恒等映射的和.同时,我们刻画了|(m-n)(m + n)|-无挠的三角代数上的非线性(m,n)-Lie中心化子.第四章研究了三角代数上的非线性(m,n)-可导和非线性(m,n)-高阶可导映射,证明了|m+n| 无挠的三角代数上的非线性(m,n)-可导映射和非线性(m,n)-高阶可导映射分别是导子和高阶导子.本文得到的结果有:(1)设u是一个三角代数且满足πA(Z(u))= 和πB(Z(u))=Z(B).若δ是u上的一个非线性广义Lie导子,f是与δ相关的非线性映射,则在u上分别存在两个可加的广义导子φ和g,以及一个到u的中心且在交换子上为零的映射ξ使得对任意的x ∈u,有δ(x)=φ(x)+ ξ(x)和f(x)= g(x)+ ξ(x).(2)设u是数域F上的一个三角代数.若d是u上的一个零点ξ Lie(ξ ≠ 1)弱可导映射,则在u上存在一个导子δ和一个中心元λ使得对任意的x ∈ u,有d(x)= δ(x)+ λx.(3)设u是数域F上的一个三角代数.若D ={dk}k∈N是u上的一个零点ξ-Lie(ξ ≠ 1)高阶弱可导映射且dk(1)= 0((?)k ∈ N+),则D是高阶导子.(4)设u是一个三角代数且满足πA(Z(u))=Z(A)和πB(Z(u))=Z(B),φ是u上的一个R-线性映射.若ID(u)是关于φ的一个Lie不变子空间,则在u上存在一个Lie导子δ和一个中心元λ使得对任意的x ∈ u,有φ(x)= δ(x)+λx.(5)设 m,n 是固定的整数且(m+n)(m-n)≠ 0,u 是一个|(m+n)(m-n)|-无挠的三角代数且满足πA(Z(u))= Z(A)和πB(Z(u))= Z(B).若L是u上的一个非线性(m,n)-Lie中心化子,则存在一个中心元λ和一个到u的中心且在交换子上为零的映射ξ使得对任意的x ∈u,有L(有= λx + ξ(x).(6)设m和n是固定的整数且m + n ≠ 0,u是一个|m + n|-无挠的三角代数.若d是u上的一个非线性(m,n)-可导映射,则d是一个导子.(7)设m和n是固定的整数且m + n ≠ 0,u是一个|m + n|-无挠的三角代数.若D = {dk}k∈N是u上的一个非线性(m,n)-高阶可导映射,则D是一个高阶导子.