近年来,由于在许多物理和工程领域的广泛应用,Caputo型分数阶微分方程引起了人们的极大兴趣。然而,通常难以获得Caputo型分数阶微分方程的理论解。因此,应用一些数值方法寻找这种方程的近似解是很有意义的。此外,因为Caputo型分数阶微分方程可以转化成一种第二类弱奇异Volterra积分方程,所以从第二类弱奇异Volterra积分方程的数值方法,可以产生Caputo型分数阶微分方程的数值方法。本论文针对Caputo型分数阶微分方程以及第二类弱奇异Volterra积分方程,进行了高精度数值方法的研究。论文的主要内容分为四部分:Caputo型分数阶微分方程的高阶向后差分公式和广义向后差分公式,第二类弱奇异Volterra积分方程的多步配置法和超隐式多步配置法。第一部分研究了Caputo型分数阶微分方程的一类高阶的分数阶向后差分公式。首先给出了高阶分数阶向后差分公式的系数。然后讨论了分数阶向后差分公式的稳定性。最后与同阶显式分数阶线性多步法进行了比较,得出了分数阶向后差分公式具备两个明显特点:在数值计算中可以达到高精度,并且具有良好的稳定性。第二部分首先提出了Caputo型分数阶微分方程的分数阶边值法格式,分析了分数阶边值法的相容性。然后构造了一类具体的分数阶边值法——分数阶广义向后差分公式,基于分数阶线性多步法的阶条件和生成函数的展开式,给出了分数阶广义向后差分公式的系数。最后分析了分数阶广义向后差分公式的收敛性。第三部分先研究了第二类弱奇异Volterra积分方程解的正则性,讨论了光滑变换的性质和作用。然后经过对第二类弱奇异Volterra积分方程做光滑变换,再把区间分划成一致网格,通过多步技巧构造了一类新的多步配置法。最后分析了多步配置法的收敛性和稳定性。第四部分首先对第二类弱奇异Volterra积分方程做适当的光滑变换,再对区间进行一致分划。然后在多步配置法的基础上,通过引入下一子区间相同数目的配置点,构造了第二类弱奇异Volterra积分方程的超隐式多步配置法。最后给出了超隐式多步配置法的收敛阶,分析了超隐式多步配置法的稳定性。