形状描述是计算机图形学、计算机视觉和模式识别等领域的一个重要研究方向。形状广为理解而又难于定义,在人的视觉感知、识别和理解中,形状是一个重要的参数。从数学上如何表示这一概念,如何获得有关的参数,是特别需要关注的重要课题。矩是形状密度函数在核函数下的积分,而几何矩实质上是形状的富立叶变换的系数,因而几何矩与形状之间存在一一对应关系。其它形式的矩定义的扩展可以看成广义的变换或者泛函。本文研究矩的基本理论和方法,将形状函数的表示方法进行扩展,构成结构矩、曲线结构矩;将权函数进行扩展获得Bezier矩、B-spline矩;扩展积分形式得到三维极半径矩。并将这些方法应用于形状的检索与识别。本文的主要贡献如下:(1)提出了一种称为结构矩的方法。在传统的几何矩定义的基础上进行扩展,提出了结构矩的定义和计算方法。其实质是对原有几何矩定义中的密度函数变换得到了新的密度函数。在此基础上定义的不变矩突出或者扩大了形状之间的差别,因而使得形状相似性的比较建立在更为可靠的基础上。(2)提出了曲线结构矩方法。将结构矩方法推广到轮廓信息的识别上,所提出的曲线结构矩及其不变量不仅适用于封闭轮廓线,而且适用于各种曲线以任意方式组合的形状,从而拓广了前人方法的应用范围,同时相对于区域矩提高了计算效率。(3)通过扩展二维极半径矩到三维空间,获得了三维极半径矩。给出了三维极半径矩的定义以及三维极半径中心矩具有平移、缩放和旋转不变性的证明,为三维模型的检索提供了形状特征不变量提取的方法。(4)为了扩大了三维形状之间的差别,提高计算效率,将结构复杂度的思想用于三维模型分析,扩展三维极半径矩到三维极半径结构矩,改进后的特征不变量具有更好的可分性。(5)提出了曲面矩方法。将三维Zernike矩推广到曲面上,得到了三维Zernike曲面矩;将三维极半径矩推广到了三维极半径曲面矩。两种曲面矩方法不需要将三角面片表示的三维模型数据体素化,提高了计算速度和计算精度。(6)提出了基于样条的矩方法。将样条方法结合到传统的矩计算中,通过用Bezier样条基函数或者B样条基函数替换原来的基底,构成了新的二维Bezier矩、二维B样条矩,并给出了低阶简洁的矩阵表达形式。将球面协调函数与B样条基函数结合构成了三维B样条矩,由平移扩展函数空间的维数,避免了高阶矩的计算。