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确定Abel积分的孤立零点个数的最小上界,是当今分岔理论研究的热门课题之一,这一问题与确定Hamilton系统或可积系统在多项式扰动下的极限环个数密切相关.这是Hilbert第16问题的一种特殊情况,称为弱化的Hilbert第16问题.有一类具有特殊性质的Hamilton系统,我们称为Generic,由于其具有一些比较好的性质,研究起来较为方便.
本文分为三部分.第一部分介绍了研究现状以及本文的主要结论,并且引入本文所研究的Generic情形的有关定义.第二部分首先提出结论,具有周期闭轨族的二次Hamilton系统一定存在中心奇点,然后研究了一类具有周期闭轨族的三次Hamilton函数H(x,y)=1/2x2+1/2y2+Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3(A、B、C、D为实参数),给出了它所对应的Hamilton系统是2-Generic的充要条件.这个充要条件异于Ilyashenko和E.Horozov、I.D.Iliev的判定方法,并且给出了两个例子.第三部分考虑另一类Generic情形,即非退化的半权齐次多项式,由于其与Petrov模有关,故称之为M-Geneic.在文献[21]中,Gavrilov直接指出了一类形如H(x,y)=y2+P(x)的多项式是非退化的半权齐次多项式,而未对其进行严格的论证.在这一部分中,我们首先对这一模糊结论给予分析讨论,并对几类多项式进行分析,得出它们形成的Petrov模的生成元个数的上界.