【摘 要】
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本文主要围绕两类种群扩散系数依赖信号浓度的Lotka-Volterra竞争模型在二维、三维有界域和齐次Neumann边界条件下对整体经典解的存在性和大时间行为进行研究.由于扩散系数依赖信号浓度,所研究的两类竞争扩散模型都具有交叉扩散项,以致经典的极值原理方法不再适用.通过利用加权能量估计的方法和Lotka-Volterra竞争项带来的阻尼效果克服了交叉扩散项导致的困难,得到了整体经典解的一致有界性
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本文主要围绕两类种群扩散系数依赖信号浓度的Lotka-Volterra竞争模型在二维、三维有界域和齐次Neumann边界条件下对整体经典解的存在性和大时间行为进行研究.由于扩散系数依赖信号浓度,所研究的两类竞争扩散模型都具有交叉扩散项,以致经典的极值原理方法不再适用.通过利用加权能量估计的方法和Lotka-Volterra竞争项带来的阻尼效果克服了交叉扩散项导致的困难,得到了整体经典解的一致有界性.另因模型中系统参数和非线性项带来的复杂性,需要在研究解的大时间行为时做更多的分析.本文通过构造合适的Lyapunov泛函并结合LaSalle不变原理,系统地分析了两类模型中物种灭绝、竞争性排斥和共存三个不同状态下的参数条件,所得结果与经典的常系数扩散且资源只有空间异质的Lotka-Volterra竞争模型的结果完全不同.具体来说,本文得到如下三个方面的结果:1.对于资源均匀分布且化学信号由两物种自身产生的情形,首先在二维空间中,利用加权能量估计的方法克服扩散系数可能退化导致的困难,得到了解的低阶能量估计,然后利用Moser迭代技巧和抛物方程的正则性理论证明了该系统整体经典解的存在性和一致有界性.进一步,当扩散系数满足一定的参数条件时,将二维空间中整体经典解的存在性和一致有界性推广到了三维空间中.2.对于资源时空异质分布且化学信号被两物种消耗的情形,首先在二维空间中充分利用Lotka-Volterra竞争项的阻尼效果克服了交叉扩散所带来的困难并得到了物种密度的L2范数估计,再利用能量估计和抛物方程的正则性理论得到了整体经典解的存在性和一致有界性.当扩散系数满足一定的小性条件时,利用耦合能量估计方法,证明了整体经典解在三维空间中的一致有界性.3.基于系统解的整体存在性和一致有界性,根据系统参数的不同取值范围分三种情形构造合适的Lyapunov泛函并利用LaSalle不变原理讨论了两类Lotka-Volterra竞争系统中物种最终达到的生存状态.所得结果表明:若资源时空异质分布的,无论扩散速度和初始值如何选取,两个具有竞争关系的物种都可能实现共存.这一结论与之前的结果“如果资源只有空间异质,扩散速度较慢的物种会在竞争中淘汰扩散速度较快的物种”完全不同.本文内容主要分为四章,第一章概述了有关Lotka-Volterra竞争扩散模型的背景及相关结果,并简述了本文的主要结论.第二章研究了均匀分布资源下的Lotka-Volterra竞争系统解的整体存在性以及大时间行为.第三章关注于时空异质资源的Lotka-Volterra竞争系统,详细证明了系统的解整体存在,分析了系统的动力学行为,并解释了所得结果的生物意义.第四章总结了本文结果,提出了值得进一步讨论的问题.
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