梁的静力、动力和稳定等力学问题,通常可归结为在特定边界条件下求解微分方程(组)的数学问题。寻求一种统一而有效的求解此类微分方程(组)的方法,一直以来是力学家和工程师追求的目标。本文基于应用力学的辛对偶体系方法,提出了研究梁的静力、动力和稳定等力学问题的辛本征值分析方法。该方法的主要思路是将梁的以上三种典型力学问题均归结为辛本征值问题,通过分析本征值及本征向量得到上述力学问题的解。在此框架内,静力弯曲成为辛体系下的平衡问题,固有振动和静力屈曲成为辛体系下的奇异问题。本文的主要研究工作和研究成果如下:(1)对于单跨均匀梁的静力问题,本文结合奇异函数理论,提出了一种求解在外力载荷作用下梁特解的新方法——辛-奇异函数法。该方法适用于梁承受连续或非连续分布载荷、奇异载荷等复杂载荷作用下特解,具有通用、可靠、便于实施等优点。(2)对于单跨均匀梁的固有振动,本文将辛本征值和无量纲圆频率的关系图像称为辛本征值谱,给出了一系列连续或离散的辛本征值谱。得到了各种边界条件的梁的频率方程,并考虑了弹性支承对梁频率方程的影响。得到的模态同时包含位移和内力结果,本文称其为全模态向量,并验证了全模态向量之间的正交性。(3)对于单跨均匀梁-柱的屈曲问题,本文采用轴力-固有振动频率的关系曲线描绘了辛体系下奇异分析的全貌,指出无轴力梁的自由振动模态和梁的静力屈曲模态,是奇异分析中的两个特殊点,其余点则表征了特定轴力作用下的固有振动模态。(4)对于变截面梁、多跨连续梁等物理参数非均匀分布的梁式结构,本文在单跨均匀梁的辛解析解的基础上,结合传递矩阵方法的思想,提出辛传递矩阵方法,求解了多种复杂梁式结构在外载荷作用下的位移和内力等弯曲响应。本文证明,在辛对偶求解体系下,梁的状态向量的场传递矩阵、点传递矩阵和总体传递矩阵均是数学上的辛矩阵。本文采用本征值分析的思路进行统一求解,并指出辛本征值代表空间函数的衰减率,辛本征向量将各变量之间的微分关系固化。本文方法将应用力学的辛对偶体系方法在梁力学分析领域体系化,全面化,深入化。与传统的一类变量方法相比,本文方法为结构力学这一古老学科注入了新鲜的血液,具有广阔的发展应用前景。同时,作为蓬勃发展中的辛对偶求解体系的研究成果之一,本文为建立和完善该领域的完整图景做出了贡献。