【摘 要】
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数值微分问题作为经典的反问题,在科学计算和工程技术等许多领域都有着普遍的应用.但由于其具有不适定性,给问题的求解带来了一定的困难,于是探求稳定的数值方法就显得十分重
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数值微分问题作为经典的反问题,在科学计算和工程技术等许多领域都有着普遍的应用.但由于其具有不适定性,给问题的求解带来了一定的困难,于是探求稳定的数值方法就显得十分重要.本文基于正则化的思想,研究了数值微分问题的几种求解方法,具体的研究工作如下:(1)具体分析了数值微分问题不适定的原因,并给出了本文需要的相关基础知识.(2)利用有限差分法构造正则化策略给出误差估计,针对离散数据得到了最小二乘正则化方法.用三种数值积分公式及伽辽金方法将积分方程离散成线性系统,结合Tikhonov正则化方法求解了一阶、二阶数值微分问题.(3)将Huber函数、Log-cosh函数作为全变差正则化方法中的正则化项,采用向前差分方法对其进行离散,并给出算法步骤求解了数值微分问题,数值结果表明此算法具有高效性、稳定性.(4)通过求解微分算子的奇异系统,采用截断奇异值正则化方法及混合正则化方法求解了数值微分,并给出数值算例,对结果作了分析比较.(5)将高斯核作为光滑核函数,采用磨光化方法,结合Gauss-Legendre型数值积分求出正则化解,给出了误差估计表达式.并对磨光化方法加以改进,针对区间端点处的正则化解利用最小二乘正则化方法计算,结果表明改进后的方法求解精度有了明显提高.
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