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本文隶属于Brunn-Minkowski理论领域，该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支．本学位论文主要利用几何分析中的凸体理论，Radon变换和解析不等式理论，研究了凸体的有关极值和稳定性问题．
本文的研究工作主要分为三个方面：
在经典Brunn-Minkowski理论方面：我们研究了凸体p－宽度积分的性质，并获得了凸体p－宽度积分的Brunn-Minkowski型不等式和Blaschke-SantMó型不等式．推广和完善了E．Lutwak建立的当p=1时凸体的宽度积分的性质．
在对偶Brunn-Minkowski理论方面。我们引入星体弦长积分的概念，研究了其性质并建立了有关星体弦长积分的不等式．作为应用，首次给出了相交体的星对偶的Brunn-Minkowski型不等式．
在凸体的稳定性方面我们主要研究了凸体的截面的性质：如果两个凸体被过原点的任意超平面所截得到的截面具有相等的平均弦长和相同的对偶Steiner点，则这两个凸体是重合的．我们并且得到它的一个稳定性版本.