偏微分方程(PDE)的数值解法在科学计算领域占有非常重要的地位,尤其是当一些工程、物理、生物、甚至经济的实际问题都可以简化为偏微分方程时,数值求解的便捷性就显得更为突出。期权定价理论是目前金融工程、金融数学研究中最为前沿和热点的问题,同时最为最重要的的衍生工具之一,在防范和规避投资风险中起着巨大的作用。而支付红利的美式期权可以看作是自由边界的抛物型问题,所以发展数值方法求解期权定价问题具有重要的理论和实际意义。目前关于支付红利的美式期权的数值研究比较少,常用的方法有二叉树方法和传统的有限差分方法。但是二叉树方法未考虑股票价格持平的情形,且计算时间较长;标准的有限差分方法缺乏自由边界问题的处理且精度较低.因此本文通过建立变网格,将无限不确定的变量限制在一个有限的区域内,该区域根据节点数的不断增加而不断扩展,以逼近真实的变量范围。给定了这样一个有限区域,我们就可以使用偏微分理论进行数值求解了。本文引言部分对定价理论作了概括性的回顾,介绍了期权理论早期、近期的发展。第二部分介绍了期权定价理论的经济背景、金融衍生物和最佳实施边界的基本概念,并详细阐述了Black-Scholes微分形式的推导过程。文章第三部分根据变量变换将原问题转化为热传导方程,通过自由边界的处理,使方程在一个不断扩展的有限区域内求解,然后与紧致差分方法结合,得出问题的数值解,并通过数值算例证明了该方法比传统的有限差分方法的有效性。第三部分在自由边界的处理基础上,给出了期权定价问题的间断有限元格式的推导。本文的最后给出了相关的结论。