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本文主要研究具有非负益率完备非紧流形的体积增长与闭测地线及距离函数临界点一些关系。具体证明了下面两个定理：
定理1：设Mn为完备非紧非负曲率流形，若Mn含有一非平凡的闭测地线（即不是一个点），则必有αM=0。换言之，若体积赠长αM>0，则不可能存在任何非平凡的闭测地线。
定理2：设Mn为完备非紧非负曲率流形，若体积增长αM>1/2，则Mn上任何距离函数d（p，x）除p点之外不舍其他任何临界点。