理想插值最早由数学家Birkhoff提出,用来研究一般的多元多项式插值问题.理想插值是一种被插函数为多项式的线性插值格式,其可看成是经典的一元Lagrange插值与Hermite插值在多元情形下的推广.具体来说,理想插值由理想投影算子确定.理想投影算子是多项式空间到自身的线性幂等算子,其核恰为一多项式理想.在理想插值中,理想投影算子的像空间为插值空间,理想投影算子的对偶的像空间为插值条件泛函空间.插值条件泛函空间由一组插值节点,以及每个节点上相应的赋值泛函与由有限维微分闭子空间所定义的微分算子的复合构成.微分闭子空间是由多项式构成的线性空间,并且其对求导运算是封闭的.由于“微分闭”的概念是对一元Hermite插值条件中“连续阶”导数要求的推广,所以理想插值包含了经典的Lagrange插值与Hermite插值,其中Lagrange插值对应的理想投影算子称为Lagrange投影算子.2005年,de Boor在他的理想插值综述中提到下列问题,其一：理想投影算子是否具有统一的误差结构表达式；其二：哪些理想投影算子具有“好”误差公式；其三：若一理想投影算子为Hermite投影算子,如何计算逼近它的Lagrange投影算子列.到目前为止,这些问题仍然是理想插值中的研究热点.为简便起见,我们称前两个问题为理想插值的误差公式问题,称最后一个问题为理想插值的离散化问题.本文将利用代数几何的理论知识研究上述问题,并给出一些理论结果.主要工作如下：1.给出了理想投影算子统一的误差结构表达式.一元理想投影算子的误差的结构形式简单优美.为将其推广到多元情形,de Boor提出了理想投影算子的“好”误差公式的概念.“好”误差公式是一种误差结构表达式,具体说,是指存在齐次多项式Hj和线性算子q使得插值误差可以表示为f-Pf＝ ∑j=1mCj(Hj(D)f)hj且满足正交条件Hj(D)hk=δj,k,其中f为被插多项式函数,P为理想投影算子,马(D)为微分算子,{h1,...,hm}为理想kerP的理想基de Boor曾猜测所有理想投影算子都具有“好”误差公式,但随后Shekhtman给出了一个二元情形下的反例,并断言大多数理想投影算子都不具有“好”误差公式.我们研究了理想投影算子的误差公式的代数结构,在“好”误差公式的基础上,提出了“一般”型误差公式的概念.然后利用理想的约化理论,证明了所有理想投影算子的核空间的字典序下的约化Grobner基都支撑“一般”型误差公式.最后利用B样条理论,给出了Shekhtman反例的“一般”型误差公式的具体表达式.2.给出了一类Lagrange投影算子的“好”误差公式的具体表达式.前面我们提到不是所有理想投影算子都具有“好”误差公式.到现在为止,人们对“好”误差公式的存在性的研究取得了一定进展Shekhtman证明了特殊几何分布节点上的理想投影算子具有“好”误差公式,李喆证明了具泛Grobner基的理想投影算子有“好”误差公式,de Boor给出了具张量积节点和满足GC条件节点的Lagrange投影算子的“好”误差公式的具体表达式.受这些工作的启发,我们研究了一类特殊理想投影算子的误差公式.针对Cartesian点集上的Lagrange投影算子,首先利用差商算法,给出插值余项.然后将插值余项整理成差商形式的“好”误差公式.最后利用差商与样条积分的关系,给出了“好”误差公式的具体表达式.3.研究了一类二元Hermite投影算子的离散化问题.当人们推广一个概念时,一般会保留原有的结构属性.在一元情形下,Hermite插值是Lagrange插值的极限形式.这一事实启发de Boor定义Hermite投影算子为Lagrange投影算子的极限.虽然一元理想投影算子都是Hermite投影算子,并且这个结论在某些多元情形下也成立,但已有例子表明存在非Hermite的多元理想投影算子.所以判断一个理想投影算子是否为Hermite投影算子,以及如何计算逼近Hermite投影算子的Lagrange投影算子列是人们十分关心的问题.围绕这个问题(理想插值的离散化问题),de Boor和Shekhtman证明了二元理想投影算子都是Hermite投影算子,并给出了一种计算其相应Lagrange投影算子列的方法.但是方法本身复杂度高,不易于实现.我们研究了一类特殊的二元Hermite投影算子,其插值条件泛函为δξοΡ(n)(D),Ρ(n):=F<n[x,y](?)spanF{pn},其中δζ为ζ点处的赋值泛函,D为微分算符,F<n[x,y]为次数小于n的二元多项式集合,pn为一任意的二元n次多项式.针对此类Hermite投影算子,我们给出了一种计算Lagrange投影算子列的方法,该方法简单有效并且几乎不用任何计算代价.