共晶生长为液态金属自高温冷却,凝固时从同一母相中同时析出且紧密相邻的两种或多种不同的相的过程。共晶的低熔点和小的凝固范围使得共晶具有优异的铸造流动性和良好的复合结构,从而使得共晶合金在工程方面有着广泛的应用。尽管工业技术方面比较成熟,而且应用非常广泛,但是许多有关共晶生长方面的基本问题仍然没有得到解决,严重限制了新材料微观结构的预测和新工艺的设计。因此研究共晶生长理论具有非常重要的实际意义。共晶生长问题涉及多组分热力学、固液界面和固固界面的演化、形态稳定性、化学和热扩散等物理现象。目前的理论并不能很好地预测固液界面形貌以及临界间距。因此本文以定向凝固下的棒状共晶生长系统为研究对象,考虑到固-固-液三相结合处的接触角以及其导致的数学模型的奇异性。采用多重尺度、渐近展开以及匹配法求得其数学模型的解析解。本文按三相结合处的界面斜率的大小分为两种情况:界面斜率为小的量级和界面斜率为正常量级。当界面斜率为正常量级时,根据不同的长度尺度将共晶生长液相区分为三个子区:远离固液界面的区域、三相结合区和远离三相结合区的固液界面区域。当界面斜率为小的量级时,把整个凝固区域分为两个子区:远离固液界面区域和靠近固液界面区域。然后应用渐近展开法对每个子区域进行求解。最后,通过匹配法对各个区域所求的解进行匹配,得到整个区域的一致有效渐近展开解,获得了牵拉速度和温度梯度对共晶生长固液界面演化的影响规律。特别地,当固液界面斜率为正常量级时,获得了共晶生长界面过冷度与共晶间距的变化规律,确定了临界共晶间距。结果表明:两固液界面的平均过冷度并不相等。固液界面的平均过冷度随着共晶间距的增大先减小后增大,在平均过冷度最小值处对应共晶生长的临界间距。最后,理论预测丁二腈-樟脑（SCN-DC）的临界共晶间距为Jackson-Hunt的0.65倍,该结果与S.Akamatsu等学者的实验结果相吻合。