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本文主要研究了球面中Willmore子流形和extremal子流形的若干几何刚性问题,证明了薛定谔(Schrodinger)算子特征值的空隙定理,刻画了球面中extremal超曲面的谱特征.这里的Willmore子流形和extremal子流形是两类特殊的子流形,它是通过计算某种泛函变分的临界点得到的.设M为单位球面Sn+p上的n维浸入子流形,H和S分别为M上的平均曲率和第二基本形式模长的平方.定义泛函：若x：M→Sn+p为泛函W的临界点,则称M为Willmore子流形.类似地,若x：M→sn+p为泛函E的临界点,则称M为extremal子流形Li[Lil,Li3]和Guo[GL]分别研究了泛函W和E的临界点,并且得到了相应的Euler-Lagrange方程.本文第二章主要研究了Willmore子流形的刚性问题.Li在文献[Li1,Li2,Li3]中对Willmore子流形刚性做了深入研究,并在逐点拼挤(pinching)条件下得到了球面中Willmore子流形的刚性定理.在第二章中,我们运用积分估计和Sobolev不等式等工具证明了球面中Willmore子流形的整体刚性定理.最近,Guo和Li[GL]在逐点拼挤条件下证明了球面中extremal子流形的刚性定理.在第三章中,我们证明了球面中extremal子流形的整体刚性定理,并且对于具有平坦法丛的extremal子流形得到了一个更优的刚性定理.Yau[Y1,Y2]曾在截面曲率拼挤条件下证明了关于球面中极小子流形的刚性定理.受此启发,我们分别在截面曲率拼挤条件和Ricci曲率拼挤条件下获得了两个关于球面中extremal子流形的刚性定理.第四章研究了球面中Willmore子流形上薛定谔算子的特征值.早在1968年,Simons[Si]就研究了极小子流形上的拉普拉斯算子的特征值,并得到了一些深刻的结果.之后,Wu[Wu]获得了若干更一般的结果.在本章中,我们估计了球面中Willmore子流形上的薛定谔算子第一特征值的下界,并得到了若干刚性定理.第五章研究了球面中extremal超曲面上拉普拉斯算子的谱与几何的关系.Ding[D], Li和Wang[WL],分别研究了球面中极小超曲面和Willmore超曲面的情形.在该章中我们着重将Q. Ding等人的工作推广到了球面中extremal超曲面的情形.