离散量子系统是量子理论的重要组成部分,因为离散系统的数值和解析结果更加地简易和可行。科学和技术的进步大大提高了在实验上对离散量子系统的研究。通过对离散量子系统的研究,人们才进一步理解了一些被实验所发现的反常量子现象,比如:布洛赫震荡、排斥势束缚原子对等等。传统的量子力学对哈密顿量的厄米性给予了要求,为了保证本征能谱的实数性以及幺正的时间演化。直到上个世纪九十年代由Bender和他的合作者们共同发现了具有宇称-时间反演对称的特殊模型,可以保证系统能谱是实数以及时间演化的幺正性,这使得非厄米系统开始受到了学者们的广泛关注。本文旨在通过引入一些凝聚态物理、量子物理领域里的前沿概念。在厄米系统里寻找拓扑不变量,并且将其与动力学的整体边缘匹配现象联系起来,同时也为实验上验证动力学的整体边缘匹配指明了道路。我们并不满意于此,进而将这种动力学的整体边缘匹配性质推广到非厄米领域中。我们认为这些研究的结果能够为前沿物理大厦增砖添瓦。