正电子发射断层成像(PET, positron emission tomography)系统可以显示人体对葡萄糖等物质的代谢情况,它是核医学领域最先进的医学影像设备。PET能够早期发现肿瘤及心脑血管疾病,具有无创诊断的特点,正日益受到人们的青睐。PET通过对人体内示踪剂产生的γ光子对进行重构产生具有医学诊断意义的图像。针对每个患者,PET需要进行两次扫描-发射扫描和透射扫描,其中透射扫描与CT的扫描方式非常相似。尽管PET和CT同样使用滤波反投影和迭代重建算法获取图像,但是PET重建需要更复杂的数据校正,这是它与CT重建的主要区别之一。另一个重要区别是CT主要使用滤波反投影重建技术,而越来越多的PET使用迭代重建算法。本文着重探索PET重建中的数学模型与算法,主要工作如下：1.单棒源的透射扫描消耗大量时间,给患者带来不舒服的感觉,并且降低了PET的使用效率。使用多个棒源可以解决这个问题,但是带来更多的随机符合事件,导致图像质量下降。已有的单棒源去噪方法不适用于多棒源系统。本文研究了多棒源系统透射扫描的特点,给出一种具有棒源约束的随机校正算法。该算法能够有效去除多棒源引入的随机噪声。使用圆柱模体和NEMA模体进行测试,实验结果表明该算法减少一半扫描时间并且获得与单棒源系统相近的图像质量。2.传统的衰减校正在一个床位需要100M的扫描数据,而分割衰减校正只需要30M的数据量,对于后者,图像分割是最关键的步骤。高斯混合模型(GMM)在衰减图像分割中已经被广泛使用,本文研究它的一般化形式(GEMM, Generalized exponential mixture model)。本文首先推导一维GEMM的迭代算法,然后将其推广到高维数据集上。选取几个GEMM进行实验,通过模拟数据和真实的PET衰减图像,我们发现一些GEMM比GMM获得更好的聚类结果。值得注意的是,GEMM包含拉普拉斯混合模型,本文为它设计了一个有效的算法,尽管它在图像处理中应用很少,但是它在声音信号处理中有重要的应用。3.模糊C均值(FCM, fuzzy c-means)是另一种常用的PET衰减图像分割算法。本文着重研究它的收敛性质。已有工作在一个假设前提下通过不动点理论证明了算法的子序列收敛性。但是该证明有两个关键问题尚未解决：一是假设条件有时不成立,二是子序列收敛性显示每个收敛子序列都收敛到一个驻点,而整个序列是否收敛无法判断。本文放弃了不动点理论,采用一种全新思路,无需假设条件就能够证明FCM的整个迭代序列都收敛到驻点。本文还为GEMM算法提供另一种解释,并且显示FCM和GMM有相似的收敛性质。4.PET扫描数据噪声非常大,迭代算法比解析算法抑制噪声能力更强。本文提出一个通用的迭代重建算法框架,它包括经典的ML-EM算法、Anderson的WLS算法、Zhu等的WLS算法、Byrne的SMART算法、刘力和汪元美的算法,还包括DePierro的贝叶斯算法、Fessler的PWLS算法以及许多其它算法。针对这个通用算法,本文进一步给出全局收敛证明。现有的工作中,除了ML-EM和Fessler的PWLS,很少算法能够提供收敛证明。简而言之,本文为几个重建算法提供了统一的理论分析工具,使用该工具,可以推导很多收敛的新算法。5.从动态PET图像中发现示踪剂活度与时间的关系是一项有挑战的工作。非负矩阵分解(NMF, non-negative matrix factorization)能够完成该项任务。NMF是一种模式识别方法,能够将一个高维非负矩阵分解成两个低秩、低维的非负矩阵之积。尽管NMF和图像重建算法有不同的物理背景、应用于不同的领域,但是它们使用相似的迭代算法。本文设计了一种自动抑制噪声的新算法,并证明其收敛性。与同类型的ESMART算法相比,ESMART算法的收敛性依赖于判别参数,较大的判别参数使得算法发散。在一个动态脑PET数据集上,使用本文算法和ESMART算法识别动脉血管中示踪剂的活度-时间曲线,结果表明本文算法提供低噪声的基图像并且显著提高识别正确率。