分形几何的主要工具是它的许多形式的维数,如豪斯多夫维数、计盒维数、填充维数等等.由已知的分形构造新的分形的一种方法就是利用笛卡耳乘积,在实际中出现的很多分形是乘积形式的或者至少是局部类似乘积形式的,豪斯多夫测度和维数的乘积公式最早由Besicovitch与Moran在平面的情形获得的,一般情形由Marstrand用网测度的技巧得到的,由这些乘积公式,我们可以更容易的讨论一些分形集的性质.该文所做的主要工作就是在豪斯多夫测度和维数定义的基础上,对乘积公式进行了推广,并且利用这些推广的乘积公式,讨论了RN中一些分形的豪斯多夫测度和维数.此外,该文还对一类典型的分形集:自相似集,进行了研究,找出了两个自相似集的和仍为自相似集的条件,并加以了证明.该文的最后,讨论了De Rham曲线的分形性质.