本文分成两大部分，共三章。第一部分包括第一和第二章，我们分别讨论了单位球面Sn+p中具有常数量曲率的子流形和de Sitter空间Spn+p（c）中具有常数量曲率的类空子流形，得到了它们的刚性定理。第二部分主要讨论了Finsler流形的上的调和函数。 令Mn是等距浸入单位球面Sn+p中的一个连通定向子流形。如果Mn是紧致无边的，则我们称它是闭的。用R，H和S分别表示Mn的规范化数量曲率，平均曲率和第二基本形式模长平方。关于子流形的分类问题一直是让人感兴趣的问题。对于等距浸入到单位球面中的极小子流形或具有平行平均向量场的子流形，已经得到了不少刚性的结果，问题也已经研究得比较清楚（[9]，[12]，[23]，[25]）。于是，具有常数量曲率的子流形自然就成了大家的研究课题。Cheng和Yao最早研究了空间形式中的常数量曲率超曲面的（[7]），引入了一个自共轭的二阶椭圆算子。这个算子现在仍是我们研究常数量曲率子流形的最重要工具。但由于这类问题条件太弱，因此研究的时候总还需要加一些条件，如截面曲率有下界，或法丛平坦等（[7]，[11]）。本文第一章研究具有常数数量曲率和平行单位平均曲率向量场的子流形。显然，后一个条件对于超曲面是自然满足的。这方面已有了一些研究结果（[11]，[13]，[33]）。但文[13]，[33]仅仅是研究超曲面的情形，而文[11]研究了此条件下关于平均曲率的Pinching问题，得到的结果并不理想（因为其Pinching条件是关于R，H和S的方程式）。我们讨论了这样条件下关于第二基本形式模长平方S的Pinching问题，得到了类似文[29]的最佳Pinching常数，即有如下定理： 定理1．1．1（[26]） 令Mn是等距浸入单位球面Sn+p中的具有平行单位平均曲率向量场的闭子流形。若R是常数且R≥1，则 （ⅰ）若S≤2（n-1）1／2，同时n≥8或，n≥3且p≤2，那么必有下面两种情况之一出现： （a）S=n（R-1），此时Mn是Sn+p中的球面Sn(1／R1／2)； （b）n≥8或，n=7且p≤2，而S=2（n-1）1／2，此时Mn位于Sn+p的一个全测地