图论是一个相对古老的数学分支,它是应用数学的一部分。在历史上图论曾经被多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉(Leornhard Euler)1736年的论著中,他利用图论的方法解决了柯尼斯堡(Konigsberg)问题。由此,图论诞生,欧拉也被公认为图论的创始人。在随后的发展过程中,产生了许多著名的猜想,如汉密尔顿回路、四色猜想、优美树猜想等,现实中的许多问题都可以转化为图论的相关问题,从而引起了学者的注意和广泛研究,促进了多个学科的蓬勃发展。为了解决图论中的相关猜想,学者对图标号进行了广泛研究,图标号成为了当前图论中非常活跃的分支。图标号最早起源于1966年Rosa提出的优美树猜想:每一棵树都是优美树。虽然研究成果颇多,但该猜想至今未被解决。由此,图标号的研究广泛延伸,出现了多种类型的标号。优雅标号是图标号中的一种,也是本文主要研究的对象。它的概念于1981年被Chang、Hsu和Rogers首次提出,并给出了明确的定义。图标号广泛应用于计算机科学、网络、有机化学、机器学习等多个领域。由于图的数量随着点数的增大而递增,在未借助计算机之前,图的标号由手工操作,因而学者研究的范围比较单一,主要局限于特殊图或者某一类图,没有对图进行全局研究,对图的优雅性缺少全面认识。为了对图的优雅性进行全面研究,本文借助计算机高效率、长时间的处理能力,采用剪枝与预判函数相结合的方式,设计了递归回溯算法,对9个点内的所有简单连通图进行优雅性验证,得到9个点内所有优雅图和非优雅图。由于计算机硬件设备的配置有限,随着图形的增多,计算机处理时间加大,选取16个点内的树、单圈图、双圈图进行优雅性验证。对实验结果进行分析,得出相关结论,根据结论提出相关猜想,基于猜想去判断大点数图的优雅性,通过对大点数图进行标号,判断猜想是否成立。研究表明,对于图G(p,q),当2≤p≤9,p≤q≤2p且q≠1(mod 4)时,所有图都是优雅图。当2≤p≤16时,所有的奇树都是优雅树;所有的偶数几乎都是优雅树。当2≤p≤16时,除图C5、C9和C13之外,所有的单圈图都是优雅图。对于(p,p+1)图,当4≤p≤16且p+1=1(mod 4)时,双圈图C(m,n)是非优雅图。对上述图形的奇优雅性进行一一验证,实验表明,当2 16时,所有的树都是奇优雅树。当2 9时,除几个图之外,所有只含有偶圈的图都是奇优雅图。QR码具有信息容量大、可靠性高、成本低、易于读取等特点,被广泛应用到社会各个领域。本文将QR码应用到产品的防伪方面,根据图的优雅标号算法生成图的优雅矩阵,结合产品的相关信息制作成“电子身份码”,添加到QR码中,从而可以根据客户的查询信息反馈商品的真伪性,维护客户的切身利益。