微分方程数值解法在工程技术和科学计算等领域中的应用十分广泛,有限差分法、有限元方法和谱方法是其中重要的三种方法.谱方法是以整体光滑的正交多项式或函数的组合作为基底来逼近问题的解,其主要优点是具有高精度,也就是说,问题的解越光滑,其逼近问题真实解的效果越好.在本文中,对于无界区域上的二阶常系数问题,我们构造一组新的Fourier型基函数,并基于新构造的基函数提出了一种新的时空谱方法;对于无界区域上的变系数或非线性问题,我们基于新构造的非标准基函数提出一种新的谱配置格式.首先,对于定义在半无界区域上的二阶常系数边值问题(带有齐次Dirichlet边界条件),我们利用矩阵正交分解技巧构造了一组新的基函数.并且,基于新提出的基函数,我们提出一类新的时空谱方法,所提算法在保证高精度的同时也节约了计算时间.我们证明了该方法在空间方向和时间方向上同时具有高精度,给出的数值结果也证明了其理论分析.其次,对于半无界区域上的变系数或非线性问题,我们基于Laguerre多项式或函数的性质并利用对Birkhoff插值问题求逆技术构造一组新的非标准基函数,该基函数可以通过又快又稳定的算法得到.同时我们也给出了新的基函数的重要性质.基于新构造的基函数,我们提出新的谱配置格式,使得得到的线性系统是良态的,并且所给出的数值结果也说明该方法的优越性.再次,对于全无界区域上的二阶常系数问题,我们也构造了一组新的Fourier-型基函数.同时基于新提出的基函数,我们提出相应的时空谱方法,所提算法不仅保证了高精度也节约了计算时间.数值结果也证明了其高效性.最后,对于全无界区域上的变系数或非线性问题,我们基于Hermite多项式或函数构造一组新的非标准基函数.同时提出新的谱配置格式,并给出具体的数值结果.