本文的研究结果主要有两个方面的内容：讨论了全空间RN上一类非线性项在无穷远处为渐近线性的Laplace方程变号解的能量与该问题相应的最低能量之间的关系，通过移动平而的方法，给出了这类问题变号解能量的一个严格下界估计；另一方面，对RN上一类含有阱位势的双调和方程，当非线性项在无穷远处为渐近线性的情况下，通过建立相应线性双调和算子的谱理论和该类问题对应线性化特征值问题的有关结果，我们讨论了位势阱的深度对解的存在性的影响，证明了某些解的存在性与非存在性结果。　　 本文获得的主要结果简要概括如下：　　 第一章主要考虑如下Laplace方程：其特点是，非线性项f(u)关于u在无穷远处是渐近线性的。在非线性项为超线性的情况，已有结果[97]表明该问题的山路引理解具有最低能量，但这一结论在渐近线性情形并不能像[97]那样直接证明，这里我们通过引入最低能量的一个新定义，在渐近线性条件下证明了其山路解所对应的能量也等于最低能量c0，进而对方程的变号解u∈H1(RN)的能量进行初步估计，证明了变号解的能量I(u)>2c0，最后，利用移动平面方法，进一步对上述的能量下界进行了更细致的分析，并证明了I(u)≥2c0+ε，其中ε>0。　　 第二章主要研究了RN中含有位势V∈L∞(RN)的双调和算子△2+V：H4(RN)→L2(RN)谱的有关性质。参考文[84]的方法，研究了当V=0时双调和算子△2的点谱、离散谱与本质谱，并且证明了双调和算子△2+V是自伴的，当limx→+∞V(x)=V(∞)时，其本质谱σe(△2+V(x))=[V(∞)，∞)。　　 第三章主要利用第二章的有关结果，讨论了RN上如下形式的线性双调和方程的特征值问题：其中g(x)是阱位势。与一般特征值问题不同的是，这里有两个参数λ和α，我们主要讨论了怎样的α取值范围使得上述关于λ的特征值问题可解。由于对这类双调和问题无极值原理可用，我们只能讨论了问题非平凡解的存在性与非存在性。　　 在第四章中，我们主要研究了全空间RN上的渐近线性双调和方程：利用满足Cerami条件的山路引理与第三章中特征值问题的有关结论，证明了当λ充分大时，上述方程非平凡解的存在性，将文[57]的结论推广到双调和情形。