§1 引言 近年来，关于曲面M到复Grassmann流形G（k，n）的调和映照方面有很多论文[CW2，Wo12，W1，Uh]。这些文章着重于研究调和映照的构造法和分类等，很少涉及曲面（像）的几何性质如诱导度量，曲率等。对G（k，n）中极小曲面M的几何性质的研究，有助于加深对M到G（k，n）中调和映照的了解。 另一方面，在复射影空间CPn-1中的全纯（及极小）曲面的经典理论中有很多漂亮的结果。例如，若γ：M→CPn-1是全纯浸入，则有：（1）刚性定理：γ被其诱导度量唯一确定；（2）曲率Pinching定理：如果CPn-1被赋予全纯截面曲率为4的标准度量，M的诱导度量的Gauss曲率K满足：4／（t+1）≤K≤4／t（t是正整数），那么K是常数4／t或4／（t+1）；（3）如果K是常数，那么γ（M）是Veronese全纯球面S~2(（?）CPn-1)或其一部份，它有一个清晰的表达式[BJRW]。 由于G（k，n）是CPn-1=G（1，n）的推广，自然要问：上述CPn-1中全纯曲面的哪些结果可被推广到G（k，n）中的全纯曲面?特别是当K是常数时，能否给出一个清晰的表达式?根据[CZ]，K必为正常数，故可假定M为S~2以简化讨论。平凡的情况是CP~1=S~2在CPn-1中的常Gauss曲率嵌入，而CPn-1可嵌入于G（k，n+k-1）作为全纯全测地子流形。除此之外，到目前为止唯一已知的非平凡的整体结果是G（2，4）中K=2的情况[CZ]。另外，在[J]中对K=4／3的情况给出了一个局部的描述。 基于以上原因，本文研究G（k，n）中的极小曲面。首先，本文导出G（k，n）中全纯S~2的广义Frenet公式和广义Plücker公式。这些公式对G（k，n）中一般的全纯曲面也可有类似的表述。当k=1时，它们就是CPn-1中全纯曲面的Frenet公式和Plücker公式。利用这些公式，文中给出了G（2，4）中K为常数的所有全纯S~2的解析表达式[L2]。该表达式说明刚性定理对一般的G（k，n）中全纯曲面不再成立。其次，本文给出了G（2，4）中所有K为常数的非全纯极小S~2的解析表达式[L3]，从而完全确定了G（2，4）中的常Gauss曲率的极小球面S~2。 采用[W1]的记号，每个映照φ：M→G（k，n）对应于平凡丛（?）n=M×Cn的一个子丛（?），（?）在p∈M点的纤维为φ（p）∈G（k，n）。（?）n的平坦联络d诱导了（?）上的联络▽φ。曲面M上的一个Hermitian向量丛叫做是Einstein的，如果它的曲率变换算子R是数乘变换（在每一点p∈M）。本文证明了G（k，n）中Einstein的全纯S~2（即φ对应的丛（?）是Einstein的）实质上是CPt-1中一个全纯曲面γ：S~2→CPt-1的k重“拷贝”：（?）=（?）⊕…⊕（?）（?）t⊕…⊕（?）t（?）（?）n，因而继承了CPt-1中全纯曲面的所有性质如刚性定理，Pinching定理等。 作为广义Plücker公式的应用，本文得到一些关于G（k，n）中全纯及极小曲面的Gauss曲率的Pinching定理。它们推广了CPn-1中的相应结果。