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非交换赋值环作为一类重要的环,对非交换环基础理论的发展具有重要的意义.环扩张和其理想理论是环理论的一个重要组成部分.上世纪末,H.H.Brungs,G.Torner和M.Schroder提出了非交换赋值环的扩张和它的理想问题.之后,非交换赋值环的扩张和它的理想问题得到了进一步的发展.分次扩张与高斯扩张是两种重要的赋值环的扩张,且由于高斯扩张的理想与分次扩张的分次理想之间存在一一对应关系,因此可以通过研究分次扩张上的分次理想来研究高斯扩张上的理想.斜罗朗多项式环是一种重要的环,谢光明等详细地探讨了斜罗朗多项式环K[x,x-1;σ]=K[Z,σ]上的分次扩张以及斜群环K[Z(2),σ]上的平凡分次扩张(其中Z为整数加群,为σ为到除环K的自同构群Aut(K)的群同态).然而对它们的理想没有进行讨论.本文对群环KZ(2)=K[x1,x2;x1-1,x2-1](其中K是一个域)上的分次扩张的分次理想进行研究,并且对它们的分次素理想进行了完全刻画.本文首先给定KZ(2)上的分次扩张,然后讨论它们的分次理想,对KZ(2)上的分次素理想进行刻画,并给出在KZ(2)上不同分次扩张对应的高斯扩张:Q(R),QV(R),Sv(R).最后给出了KZ(2)上的每一类分次理想的具体例子.本文分为六个部分,第一部分是引言,第二、三、四、五、六部分是文章的主体部分,最后部分是结束语.第一章主要介绍了本文的研究背景和意义,给出了一些符号定义以及本文中要用到的理论、命题和推论.第二章对KZ(2)上(a)类分次扩张的分次理想进行刻画,并且对其分次素理想进行了完全分类.主要结果为:定理2.4设A=(?)u∈Z(2)AuXu是V在KZ(2)上的(a)类分次扩张.那么{Ii|i∈△}是A的所有分次素理想的集合,在这里Ii=(?)u∩Z(2)(?)iαuXu,(?)i∈Ψ1,其中Ψ1={(?)iV|i△}表示V的所有素理想组成的集合,△是指标集.第三章对KZ(2)上(d)类分次扩张的分次理想进行刻画,并且对其分次素理想进行了完全分类.主要结果为:定理3.10 设 A=(?)uTWαuXu(?)B(?)((?)u∈-T J(W)αuXu)是V在KZ(2)上的(d)型分次扩张,B=(?)u∈AuXu,且对(?)u∈S,有J(W)αu(?)Au(?)Wαu.那么{I1i|i∈△}∪{I2j|j = 1,2}∪{I3k|k∈Ω}是A的所有分次素理想的集合,其中:I1i=(?)u∈TWαuXu(?)Ii(?)((?)u∈-T J(W)αuXu),Ii∈Ψ1;I21=(?)u∈TWαuXu(?)((?)u∈Z(2)\T J(W)αuXu);I22=(?)u∈Z(2)J(W)αuXu;I3k=(?)u∈Z(2)(?)kαuXu,(?)k∈Φ3.其中Ψ1={Ii(?)B|i△}表示B中所有满足条件(?)i(?)J(W)的分次素理想组成的集合,△是指标集,((?)i为Ii中的常数项).存在不全为0的a1,a2 ∈R,T= {(x1,x2)∈Z(2)|a1x1+a2x2>0};S = {(x1,x2)∈Z(2)|a1x1+a2x2=0}.Ψ3={(?)k(?)V|k∈Ω}表示V中所有满足条件J(W)(?)k素理想组成的集合,Ω是指标集.第四章对KZ(2)上(e)类分次扩张的分次理想进行刻画,并且对其分次素理想进行了完全刻画.主要结果为:定理4.11设A=(?)u∈Z(2)\SAuXu(?)B是V在KZ(2)上的(e)型分次扩张.那么{I1i|i∈△}∪{I2j|j∈Λ} ∪{I3k|k∈Ω}的所有分次素理想集合,其中:I1i＝(?)u∈Z(2)\S Wbf(u)αuXu(?)Ii,Ii∈Ψ1;I2j=(?)u∈PjWbf(u)αuXu(?)((?)u∈Z(2))\Pj J(W)bf(u)αuXu),Pj∈∏2;I3k=(?)u∈Z(2)(?)kbf(u)αuXu,(?)k∈Φ3.其中Ψ1={Ii(?)B|i∈△}表示B中所有满足条件(?)i(?)J(W)的分次素理想组成的集合,△是指标集,((?)i为Ii中的常数项).∏2={Pj(?)Z(2)\S|j ∈ A}是Z(2)\S中能使I=(?)u∈PjWbf(u)αuXu(?)((?)u∈Z(2)\PjJ(W)bf(u)αuXu)成为A的分次素理想的所有子集组成的集合,Pj有可能为空集,Λ是指标集.Φ3={(?)k∈V|k∈Ω}表示V中所有满足条件J(W)(?)k素理想组成的集合,Ω是指标集.第五章主要对KZ(2)上(h)类分次扩张的分次理想进行刻画,并且对其分次素理想进行了完全刻画.主要结果为:定理5.9设A=(?)u∈Z(2)\S AuXu(?)B是V在KZ(2)上的广义(h)类分次扩张,设I=(?)u∈Z(2)IuXu为A的分次理想,(?)u∈Z(2),有Au(?)Iu(?)WAu(?),I’=I∩B.那么{I1i|i∈△|是A的所有分次素理想的集合,其中I1i=(?)u∈Z(2)\SAu(?)iXu(?)Ii,Ii∈Ψ1.Ψ1={Ii(?)B|i △}表示B的所有分次素理想组成的集合,△是指标集.((?)i为Ii中的常数项.)第六章主要对KZ(2)上每一类分次扩张的分次素理想给出具体的例子.最后部分是结束语,总结了本文的主要工作,提出本文中遇到的困难和不足,并对进一步研究的问题做了设想.