论文由两部分组成:第一部分研究了应用科学中的一类重要的数学模型,即量子流体动力学模型.对一般压力-密度函数和非常数掺杂分布函数的情形,我们着重研究了一维初边值问题光滑解的整体存在性及其大时间行为.首先证明了光滑解的局部存在性.之后,证明了当初始值是定常解的小扰动时,其初边值问题存在整体光滑解,并且当时间趋于无穷时,光滑解指数衰减到其相应的定常解.这里引入新的变量变换以克服初始值不具小性,以及高阶量子修正项所引起的困难.论文也深入研究了更加困难的具有位势流的高维量子流体动力学模型的松弛极限.我们利用熵耗散的方法,基于一个熵泛函(或称能量密度)得到各项的衰减估计,从而得到松弛时间趋于零时,其强解收敛到量子漂流扩散模型初始值问题的弱解.第二部分研究了某些高阶色散波方程低正则性问题.首先,证明了对在H空间的初始值,当s≥-1/4时,单个的Hirota方程(非线性项不带导数)的柯西问题是局部适定的.当s≥0时,是整体适定的.对于更加复杂的耦合Hirota方程的柯西问题,当s≥1/4时,是局部适定的.主要的证明思想是利用广义的三线性估计,结合Fourier限制范数方法并运用分割相空间的手段,既克服了相函数的非零奇异点带来的困难,又降低了微分算子的阶数.该部分利用了算子簇的E.M.Stein型插值定理.