【摘 要】
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人工智能推动多行业智能化发展,如生物医学,计算机视觉,油气工程开发等,而偏微分方程求解始终是其中研究的热点问题。传统的数值求解方法因计算量大,网格生成开销大等原因限制了其发展。本文围绕非稳态偏微分方程求解问题展开研究,主要创新点和研究工作主要有以下三点:（1）针对三维非稳态偏微分方程问题,本文提出了3D-PDE-Net求解方法,结合小波分析中消失矩理论和泰勒展开定理,从理论上证明三维卷积核在表达能
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人工智能推动多行业智能化发展,如生物医学,计算机视觉,油气工程开发等,而偏微分方程求解始终是其中研究的热点问题。传统的数值求解方法因计算量大,网格生成开销大等原因限制了其发展。本文围绕非稳态偏微分方程求解问题展开研究,主要创新点和研究工作主要有以下三点:（1）针对三维非稳态偏微分方程问题,本文提出了3D-PDE-Net求解方法,结合小波分析中消失矩理论和泰勒展开定理,从理论上证明三维卷积核在表达能力范围内逼近任意阶微分算子的可行性,并基于此提出三维的3D-PDE-Net求解方案。数值实验结果显示该网络求解方程效果非常好,对于线性和非线性方程NMSE误差数量级均能达到-3。（2）本文研究了局部自适应激活函数在深层网络训练中的作用,并构建了含分层局部自适应激活函数（L-LAAF）的3D-PDE-Net神经网络结构。该方法对每一层网络添加包含可扩展参数的激活函数。实验证明,激活函数可大幅缩短训练时间,提高求解精度,尤其是针对时间步长较大的情况效果更加显著,可使难收敛的问题收敛。但是也因激活函数的引入导致3D-PDE-Net失去显式可解释性。（3）本文提出一种基于卷积的神经网络Stepwise-PDE-Net求解非稳态偏微分方程。该方法创新性地将分步近似的思想应用于PDE-Net中,使其更符合逐步求导的数学思想。它可以多次使用低阶约束的卷积核近似高阶的微分算子。实验表明,在相同的精度下,Stepwise-PDE-Net所需样本数仅为PDE-Net的一半;当样本数、其他参数一致时,Stepwise-PDE-Net所求解的误差明显低于PDE-Net网络的求解误差。在较为复杂的三维偏微分方程求解问题中,该网络也具有突出的性能,在=0.8时所求解的NMSE误差和∞范数误差分别为PDE-Net的36%和29%。
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