本论文主要研究一类仿射（几何）不变量：凸体间的Banach-Mazur距离（以下简称B-M距离）。自1948年B-M距离概念引入至今，此问题备受关注，许多学者对此作了大量的研究，取得了丰硕的成果，但仍存在大量需要解决的问题，例如B-M距离的最佳上界仍未确定，甚至平面上B-M距离的最佳上界也是未知的。本论文将在估计B-M距离最佳上界等方向进行一些基础性的研究工作，主要研究内容和成果如下：　　一、证明了若干种常见的关于B-M距离定义的等价性，为今后系统的研究提供了基础依据；讨论了B-M距离与绝对B-M距离之间的关系，给出了两者相等的一个充要条件（见第三章）。　　二、讨论了凸体极体间的B-M距离，尝试建立此B-M距离与原凸体间B-M距离的关系，以期寻找确定B-M距离最佳上界的另一途径。证明了一对中心对称凸体间的B-M距离与它们极体间的B-M距离相等；同时证明了在一定意义一些非对称凸体间B-M距离与它们极体间的B-M距离相等（见第四章）。　　三、将R. Fleischer等学者有关平面上逼近任意多边形的三角形最佳位置的研究结果推广到了三维空间，给出了四面体逼近任意多面体最佳位置的所有分类（见第五章）。