近年来，随着自然科学技术的进步，迭代和迭代根问题也随之不断地发展。迭代是自然界以及人类生活中的一种普遍现象，也是动力系统讨论的主题。它在混沌方面的研究结果给人类整个知识体系带来了继相对论与量子力学之后又一次巨大的冲击。漫长的历史积淀使得以迭代为基本运算形式的迭代方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，深刻地影响着自然科学与工程技术的发展．而迭代和迭代根正是这一理论最基础的问题之一。在本文的绪论中将简要地介绍迭代和迭代根的基本理论、基本结果和基本问题。 第二章介绍非单调函数迭代根的一些进展，包括严格逐段单调连续函数的迭代根，包括区间上k段单调连续映射的七阶迭代根，包括逐段扩张自映射的迭代根，以及出现平台现象函数的迭代根。此外，还介绍了多项式、折线以及集值函数等特殊函数的迭代根结果。 在第三章，我们在前人给出的单调折线函数的2次迭代根算法的基础上给出了计算高次迭代根的算法。这个算法基于常用的“逐段定义法”思想但是克服了逆函数计算的困难，这不仅为近似计算一般单调连续函数迭代根提供了可能，而且对最简单的线性函数给出了直接计算迭代根的公式。 第四章，在上一章的基础上，我们又研究了单峰折线函数这类基本的非单调函数的迭代根．虽然对一般单峰函数已经有了迭代根的结果，但是限制在单峰折线函数类中还没有结果保证单峰折线函数迭代根的存在性．我们的研究还对单峰折线函数类回答了关于严格逐段单调函数迭代根的一个公开问题。