本文主要讨论无界声波导中模式的计算问题，以及在该类波导中离散型模式展开方法(Modal Expansion Method)的有效性问题。为了处理无界波导，本文在深度方向引入了完美匹配层(PML)技术进行截断。同时，为了提高计算的精确性和计算的效率，本文采用了切比雪夫(Chebyshev)拟谱方法进行算子离散。　　声波导是一种引导声波传播的物理结构。在海洋声学中，海洋是一类以海表面和海底为界限的声波导，由于这样定义的波导径向很深，故计算时作为无界波导来考虑。在数学建模时，声波导的结构可以用亥姆霍兹(Helmholtz)方程来刻画。模式展开指的是将在波导中传播的声波表示成该波导固有特征模式的线性组合的形式。通常，无界声波导的模式是由有限个传播模和具有连续谱的辐射模组成，它们构成了一组完备基。然而辐射模由一组连续谱构成，因此模式展开方法涉及无界区域上的数值积分，要得到好的近似是很困难的。此外无界波导中辐射模的求解也是一大难题。本文引入PML将无界区域截断，用有限的范围来模拟无界区域，在有界波导中求解模式。这样得到的解对应一组离散模式，可以分为传播模、泄漏模和PML模（也叫Berenger模）三类。目前，这种采用PML截断无界波导，利用近似有界波导的离散模来代替原有无界波导的辐射模做模式展开的方法虽然被普遍接受，但对于它的有效性缺乏相应的理论依据，因此，这种展开方式的有效性是一个亟待考证的问题。本文着重讨论在这组离散基下模式展开的有效性，并用数值实验来定量地论证。　　要研究模式展开的有效性，首先要有模式的精确解，因此本文使用了多种方法来处理波导模式的计算问题。当波导的声速是分段常数时，例如常见的Pekeris波导，通过前面提到的PML的处理可以得到模式所满足的非线性方程，也叫色散关系（引用了光波导中的叫法）。而在海洋声学环境中，波导结构通常是不均匀的，更一般地，对于连续变化的声速，本文采用微分转移矩阵(DTMM)技术，推导出了类似的非线性方程。在已有色散关系的条件下，找到一组好的初值，再利用牛顿迭代法，即可得到高精度的解。初值可以通过离散方法和渐近解方法获得，在本文中，作者分别考虑了这两种方法，其中算子离散时采用的是Chebyshev拟谱方法。　　本文的主要工作在于有效地计算了无界波导的高精度模式，特别是对于声速分布不均匀的波导，推导出了它的色散关系。这些研究成果对于模式的计算和分析至关重要。同时，本文也对模式展开方法有效性进行了研究，有了一定的进展。推导出了以下两方面的理论结果:展开的系数会随着特征模式的增大而趋于零;离散型的模式展开式关于模式是稳定的。以上结论在数值上给予了验证和说明，本文的研究对于该方法的实际应用具有指导意义。