本文主要针对随机系数Brinkman问题、随机交界面Helmholtz问题以及随机交界面Maxwell问题这三类随机偏微分方程(SPDE)进行数值研究.对于不同问题自身特点设计相应的算法,从理论上证明其收敛性,并给出相应的数值实验.本文主要分为以下五个部分:第一章,我们简要的回顾有限元的发展,弱伽辽金(weak Galerkin,WG)有限元和Nedelec元的历史.然后分别对随机系数Brinkman问题、随机交界面Helmholtz问题以及随机交界面Maxwell问题的研究现状进行简要总结.在这章的最后,简要介绍了本文的主要结构.在第二章中,我们主要对随机系数Brinkman问题进行研究.多孔介质的Brinkman模型是Stokes方程或Navier-Stokes方程在较小Reynolds数情况下的简化形式.设具有大渗透率和小渗透率的区域分别对应Darcy流和Stokes流.Brinkman方程结合了 Darcy方程和Stokes方程的各自特征,这使得其在具有高度非均质介质流动的实际应用中,是一种非常有效的模型.因此,对Brinkman方程模拟精度要求高是具有实际意义的.但是,设计一种在不同渗透率的情况下,使得Darcy流和Stokes流同时稳定且有效的算法是不容易的.一般而言,Darcy稳定的方法往往是Stokes不稳定的,反之亦然.近期,穆琳、王军平和叶秀提出一种基于弱梯度算子的WG格式来求解确定性Brinkman方程,该格式在大渗透率和小渗透率时都稳定.这种方法的最重要的优点是,相同的格式可以同时解决Darcy问题和Stokes问题.很多实际应用中,Darcy区域和Stokes区域在事先是未知的,即渗透率是随机变量或者流体的粘度系数是随机跳变量.SPDE是强大的工具,可以很好的描述流体在具有随机渗透率或粘性系数高度不均匀介质中的流动情况.令D(?)R2是一个具有分片光滑边界的凸区域,(Ω,F,P)是一个概率空间.我们将考虑如下随机Brinkman方程:求解流体的速度u(x,ω):D × Ω →R2和压力p(x,ω):× Ω→R,使得其中粘性系数μ是一个随机跳函数,κ是随机渗透张量.设区域D是由Darcy区域(记为Dd)和Stokes区域(记为Ds)组成,这两个区域具有不同的粘性系数,分别记为μd>0和μs>0.方程(1)～(3)中的随机粘性系数μ(x,ω)是一个随机跳系数.我们将使用Levy过程方法根据样本给定的统计特征来构建两种介质系数.右端为f ∈ L2(D)2,边界条件g ∈H1/2((?)D)2是确定函数,且满足相容性条件:这类问题在工业和工程现象中有许多应用,例如地下水系统[21,22,72],洞型多孔介质[3,79]等.为简单起见,我们将考虑g = 0的情况.本文将多重蒙特卡洛弱伽辽金(Multi-level Monte Carlo weak Galerkin method,MLMCWG)方法应用于求解随机Brinkman方程(1)～(3).我们算法的优点是:(a)由于交界面信息是未知的,且在Stokes区域和Darcy区域的交界面处,方程(1)～(3)的解具有高振荡或间断.利用WG方法在Stokes区域和Darcy区域上的一致稳定性,该算法可以更精确模拟(1)～(3)每一个样本的Stokes流和Darcy流的流动行为.(b)相对于传统Monte Carlo(MC)来说,MLMCWG方法可以匹配样本个数与空间尺度之间关系,使计算成本可以大大减少.(c)在Darcy和Stokes区域之间的交界面往往很复杂,传统的三角剖分可能不适合实际计算.而WG方法允许任意多边形剖分(只要剖分形状规则),比标准的有限元(FEM)方法更有效,相应的MLMCWG方法优于MLMCFEM方法.在统一的框架下,该方法保证了不同多边形剖分WG方法的收敛性,使该方法更加灵活和健壮.同时,我们给出了 MLMCWG方法类似于H1的收敛性结果.定理(?) 分别是方程(1)～(3)和MLMCWG方法的解.则我们有如下误差估计(?)其中常数C独立于hn和Mn.最后,数值实验验证了算法的有效性.第三章,我们主要对随机交界面Helmholtz问题进行研究.衍射光栅是周期性结构的光学元件,在工业和工程领域中有着重要的应用.在光栅衍射.区域中,通过Maxwell方程描述是当今一种有效且流行的工具.一维周期材料衍射的时间调和Maxwell方程可以通过计算,简化为具有相关边界条件的二维Helmholtz方程.交界面的表面,尤其是纳米仪器的表面,由于生产设备精度不够,往往会造成误差.虽然这些变化可能不是真正的随机,但它们可以通过适当的空间相关性.来准确地模拟随机表面.为了方便描述,我们仅考虑一维随机交界面的光栅衍射问题.在这一章中,我们提出了一种基于形状导数、WG方法和占优Cholesky分解(pivoted Cholesky decomposition,PCD)方法来求解随机交界面光栅问题.首先,我们给出了关于交界面r0的形状导数du满足的方程.定理2假设给定扰动交界面Γδ∈ 2 C(Γ0,RN),且δ0是充分小的(以确保Γδ是非退化的且仍在D0内).则一阶形状导数du存在,且满足如下交界面问题其次,利用标准形状泰勒展式,我们得到期望Eu(x)的近似结果如下:定理3设u和u分别随机交界面光栅问题(3.14)和确定性交界面光栅问题(3.17)～(3.23)的解.在定理3.3中的假设下,一阶形状导数满足如下泰勒展式(?)对所有的x ∈K,a.s.ω ∈Ω.进而,期望Eu(x)有如下近似(?)为了避免直接求解复杂的张量积方程(3.51),我们将使用一种基于占优Cholesky分解的方法来近似Cordu(x,y).一旦确定了 Cordu(x,y),利用等式(3.50),我们可以得到方差Varu(x)的如下近似.定理4在定理3.3的假设下,则随机交界面光栅问题(3.14)解的方差Varu(x)满足如下近似(?)其中Cordu(x,y)是方程(3.51)的解.进一步,每一个样本的解及其梯度在交界面附近变化剧烈,因此,传统的有限元方法不能有效地描述跳或振荡.我们使用WG方法来克服这个问题,该方法具有高精度,可以在震荡区域更好的模拟解.为了验证随机解期望和方差的理论估计(关于扰动振幅分别是二阶和三阶近似),我们利用MC-WG方法来作为随机光栅问题期望和方差的替代解.最后,数值实验有效的验证了算法的有效性.在第四章中,我们主要对随机交界面Maxwell问题进行研究.电磁波与物理物体的相互作用在工业和工程领域中有着重要的应用,如宽带天线、通信芯片、遥感等[101].电磁场不仅在计算区域的角和边上具有奇异性或振荡性,而且还存在于不同材料之间的交界面.在许多实际应用中,不同材料的交界面是事先未知的,而是满足一定随机分布,这相当于介电常数和磁导率是随机变量.本章是上一章的三维推广.在这一章中,我们同样使用基于形状导数和占优Cholesky分解技术来求解随机交界面Maxwell问题.首先,给出形状导数dE满足的方程:定理5假设确定性扰动交界面Γδ ∈C2,1(Γ,R3),且δ0是充分小,则形状导数dE存在且满足在交界面Γ上满足如下条件边界条件为其中 其次,利用标准形状泰勒展式,我们得到期望Eu(x)的近似结果如下:引理6在定理4.3的假设下,则如下近似成立利用关系(4.13)和简单的计算,我们得到如下等式在已知两点相关矩阵CordE(x,y)时,利用等式(21),我们可以由如下定理来近似方差 VarE(x).引理7在定理4.3的假设下,随机问题(4.14)的方差VarE(x)有如下估计进一步,我们用Nedelec元方法求解确定性方程(4.50)的解E(x),它给出了随机交界面Maxwell方程的一个二阶逼近.关于随机交界面Maxwell问题解的方差,基于占优Cholesky分解的低秩逼近,我们给出了(22)中方差VarE的一个三阶逼近.最后,数值实验验证了算法的有效性.综上所述,本文主要针对随机系数Brinkman问题、随机交界面Helmholtz问题以及随机交界面Maxwell问题进行研究,分别设计有效的数值算法.在理论上证明了算法的收敛性,并通过数值实验,验证了本文中所提算法的有效性和实用性.