在本文中,通过利用Bell多项式方法、Hirota双线性方法、Riemann theta函数周期波解方法研究了Boussinesq方程的可积性,如：Backlund变换、Lax对和无穷守恒律,并求得了该方程的周期波解.同时利用李对称分析法,求得了KdV-Sawada-Kotera-Ramani方程的精确解.最后我们介绍了一种构造非线性微分方程保对称离散格式的方法.第一章,介绍了孤立子理论和李群的研究背景和研究意义,并且介绍了本文的主要工作.第二章,利用Bell多项式,求得了Boussinesq方程的双线性形式、双线性Backlund变换和Lax对.并且利用Lax方程,我们找到了它的无穷守恒律.第三章,借助Riemann theta函数周期波解的方法,构造了Boussinesq方程的周期波解.并对周期波解和孤子解之间的关系做了分析,证明了参数在一定的极限条件下,周期波解趋近于孤子解.第四章,利用李对称分析方法,得到了KdV-S awada-Kotera-Ramani方程的精确幂级数解.然后,分析了该幂级数解的收敛性.第五章,以广义Benjamin方程和三阶Burgers方程为例,我们介绍了一个构造非线性微分方程的保对称离散格式的方法.这个方法与别的方法的不同之处在于我们通过构造方程的势系统的保对称离散格式来构造原方程的保对称离散格式.第六章,对本文的研究课题进行了总结和展望.