本文主要讨论了无界区域上爆破问题的数值解法.无界区域爆破问题是一大类问题的代表，可以用来描述很多物理问题，如化学物质的燃烧、激波的形成等等[6，23，60].它们的基本特征是：在无界区域上，如物理区域Ωp=R2，有限的时间内，方程的解在某些点上的值趋向于无穷大．Bandle和Brunner在[6]中对爆破奇异性的定义为：存在有限的爆破时间T，使得limt→T-suPx∈Ωp|u(x，t)|=∞或者limt→T-supx∈Ωp|▽u(x，t)|=∞，本文主要针对前一种爆破奇异性.数值求解这类问题主要面临两个难点：区域无界性和爆破奇异性，文中提出了非线性局部吸收边界条件和移动网格相结合的新方法来解决．　　 首先看移动网格方法.从等分布原则出发，选取恰当的控制函数，通过求解移动网格偏微分方程，得到计算网格和物理网格之间的坐标变换.在一维情况下，这种基于等分布原则的网格移动是唯一确定的.控制函数的选取可以从误差分析或者方程本身的物理几何特性考虑，使用磨光技巧和数值还原技巧等可以进一步使控制函数的性质更加良好.对于用有限元或者有限差分方法得到的离散方程，为了易于推广，我们采用网格方程和物理方程分开求解的方法．在高维的情况下，仅仅使用等分布原则并不能够唯一确定物理网格分布，需要加入额外的约束条件来控制网格单元的大小、形状和方向性等性质.这里主要阐述了排列原则，它使得网格单元的每条边在控制函数的度量下尽可能相等．同时，给出了等分布条件和排列条件相对应的泛函．对于利用特定泛函生成移动网格偏微分方程的变分法和基于调和映射的移动网格方法，也做了相应的介绍．　　 解决无界区域上的问题，选取研究感兴趣的有界区域，在人工边界上构造相应的吸收边界条件是一种广泛采用的做法．线性吸收边界条件简单而基本，对于理解局部吸收边界条件的构造原理很有帮助，所以这里作为基础内容做详细叙述，吸收边界条件的构造，主要是对所选定区域外部的线性扩散方程（或者热传导方程）进行求解，利用Laplace和Fourier变换，根据方程特征解的性质，在人工边界上选取相应的散射关系来完全吸收向外传播波的过程.对人工边界上单方向方程直接进行逆Laplace变换得到的吸收边界条件是全局的，也称为精确吸收边界条件．全局吸收边界条件能够精确模拟人工边界上的函数值，但往往运算代价很大．为了提高计算效率，我们采用Padé逼近在给定点对散射关系的部分项进行近似，由此得到了线性微分算子的近似算子，即可导出线性局部吸收边界条件．　　 一维无界区域爆破问题的数值求解是本文的主要内容之一.由于模型问题是非线性抛物型偏微分方程，我们采用统一方法的思想，把线性局部吸收边界条件构造过程中得到近似线性微分算子跟非线性算子相结合，推导出非线性局部吸收边界条件．针对爆破奇异性，通过求解移动网格偏微分方程得到从计算网格到物理网格的坐标变换，以确定物理网格点的分布，由于局部吸收边界条件的加入，数值模拟所关注的内容不仅局限于爆破区域，还有人工边界上各点的精度.所以我们对控制函数做了相应的改进，加入了边界罚项和网格权函数，使得网格点能够有效地集中在爆破区域和人工边界的周围.数值实验表明，这种非线性局部吸收边界条件和移动网格相结合的新方法，对于一维情况下各种类型的无界区域爆破问题都能够高效而精确的求解.　　 从以上内容不难看出，对于二维无界区域爆破问题，若所选区域为矩形，将一维所使用的数值方法推广到二维情况是直接自然的，需要注意的只是构造非线性局部吸收边界条件时矩形四个顶点的处理．但对于一些特殊区域，如圆形或扇形等，局部吸收边界条件的构造和移动网格技巧的选取都有了新的挑战.所以我们研究了当所选区域为圆形时，二维无界区域爆破问题的数值解法.事实上，对于圆形人工边界，非线性局部吸收边界条件的构造跟选定区域为矩形时的构造原理基本相同，区别主要在于分析外部区域线性扩散方程（热传导方程）时，需要用零阶改进Bessel函数表示方程的特征解.这为单方向方程中部分项采用Padé逼近进行近似造成了一定困难，但相对于矩形区域少了四个顶点的单独处理，实际应用中还是相当简便灵活的，由于非线性局部吸收边界条件是在极坐标下对r方向的微分算子进行近似，这就启发我们在处理爆破奇异性时，利用爆破形态的轴对称性，也只在r一个方向上采用移动网格偏微分方程方法来移动网格.从数值实验的结果来看，这种简化的二维移动网格方法是可行的.类似的，为了更好的近似人工边界上的函数值，加权改进的控制函数仍是必要的．由极坐标变换引入的非本质奇异性，在方程离散时也做了特殊处理．数值例子表明，选取人工区域为圆形时，这种局部吸收边界条件和移动网格偏微分方程相结合的方法能够高效精确的解决二维无界区域爆破问题.