【摘 要】
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均衡约束数学规划问题是指带有参数变分不等式或参数广义方程约束的优化问题.这类问题在工程设计、经济均衡、交通科学、数据挖掘等许多领域都有着广泛的应用.由于在任何可行点处非线性规划中的大多数约束规范都失效,比如Mangasarian-Fromovitz约束规范,所以这类问题在理论分析和算法设计上都会引起很多问题.因此,通常采用专门的算法来处理它,其中正则化方法就是一类显著的算法.本论文研究了带有互补约
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均衡约束数学规划问题是指带有参数变分不等式或参数广义方程约束的优化问题.这类问题在工程设计、经济均衡、交通科学、数据挖掘等许多领域都有着广泛的应用.由于在任何可行点处非线性规划中的大多数约束规范都失效,比如Mangasarian-Fromovitz约束规范,所以这类问题在理论分析和算法设计上都会引起很多问题.因此,通常采用专门的算法来处理它,其中正则化方法就是一类显著的算法.本论文研究了带有互补约束的数学规划问题（Mathematical program with equilibrium constraints,简称MPEC）和带有垂直互补约束的数学规划问题（Mathematical program with vertical complementarity constraints,简称 MPVCC）的正则化方法及数值实现,正则化方法的基本思想是用带有参数的一系列非线性规划问题代替原始的MPEC和MPVCC,当参数趋于零时,正则化问题趋近于原始问题.我们改进了某些MPEC和MPVCC正则化方法的收敛性质,并用非精确的思想设计了具体的可执行算法并对其进行数值求解.本论文主要研究结果可概括如下:1.第三章研究的是改进Kadrani等人和Kanzow&Sclwartz所提出的关于MPEC的正则化方法的收敛性结果.证明在更弱的MPEC松弛的常秩正线性依赖条件下可以得到所期望的MPEC稳定点.考虑一种基于某种NCP函数的MPEC正则化方法,发现它具有较好的理论结果,利用半光滑牛顿法和SQP方法求解这一系列正则化问题,数值结果表明,所提出的正则化方法是求解MPEC的有效策略.2.第四章研究的是MPEC的非精确对数指数正则化方法,该正则化方法将互补约束改写为等式约束,使其在非精确（近似）二阶条件下具有较好的收敛结果.将非精确二阶条件作为算法的判别准则,考虑一种基于二阶原始-对偶SQP方法,通过适当的修改将其用于更一般的问题并生成理论分析中所需的非精确二阶稳定点序列,最后进行了数值实现,实验结果验证了该非精确正则化方法的有效性.3.第五章研究的是MPVCC的对数指数正则化方法.因为非精确KKT条件可以作为许多实际算法的终止准则,所以我们用非精确的KKT点代替求解正则化问题的精确KKT点.证明在MPVCC MF约束规范下,非精确KKT点的极限点是Clarke稳定点.基于牛顿拉格朗日障碍罚函数算法给出一个可执行的策略保证生成收敛性分析中所需的对数指数正则化问题的非精确KKT点,并从数值角度验证该方法是可靠的.4.第六章研究了通过求解一系列Scholtes正则化问题来获得MPVCC稳定性的方法.因为从数值角度计算非精确的KKT点往往是更现实的,所以我们只考虑求解正则化问题的非精确KKT点序列.为了得到更好的收敛性结果,我们给出了 Scholtes正则化问题的非精确二阶条件,并证明在该条件和MPVCC线性无关约束规范下可以得到MPVCC的M-稳定性.将非精确一阶条件作为增广拉格朗日方法的判别准则,用改进的算法来获得理论分析中所需的非精确KKT点序列并给出算法的收敛性分析.在适当的有界性条件下,算法所产生的迭代点甚至可以收敛到MPVCC的强稳定点.数值结果表明该方法是求解MPVCC的有效途径.
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