图像放大和分割是图像处理中的基础问题。图像放大的主要目标是使放大后的图像能更好地反映原场景表面的形状、特别是细节信息。一幅图像是对一个场景表面的采样,采样点越多,对原场景表面的细节刻画得就越精细。如果能根据图像反向重建出原场景表面的可见部分,对场景进行重采样,就可以得到细节丰富和清晰的放大图像。这样图像放大问题就成为由图像反向重建原场景表面的问题。图像分割则是分割出图像中的不同组成部分,在基于图像的三维造型中,需要曲线拟合技术把分割得到的离散边界形成连续的边界。论文以图像处理中的图像放大和分割为主线,研究了图像处理中的曲线曲面拟合问题,该问题也是图像处理、计算机辅助几何设计、计算机图形学、计算机动画和数字内容创作等领域的共性问题和关键技术,是这些领域的研究热点,也是应用中急需解决的难点问题,在实际工作中有广泛的应用背景。本文围绕图像放大和分割所涉及的几何问题,以基于图像的曲面拟合和数据点参数化问题为切入点开展研究。对问题的解决给出了新的理论,并提出了四个有效方法,具体成果和创新如下：一、提出了以边缘为约束的分段二次多项式的图像缩放。一般认为,由拉格朗日、样条曲线、最小二乘法等这些基于多项式拟合曲面方法产生的放大图像边缘会有模糊的情况。我们的实验显示,当把边缘信息作为约束条件来构造多项式曲面进行图像放大时,放大后的图像可以具有更好的边界特征和更高的视觉质量。本文提出了一种构造拟合曲面片来进行图像缩放的新方法。对应每个像素,以边缘信息作为约束条件构造一个拟合曲面片,曲面片具有像素及其邻域像素所建议的形状,且具有二次多项式精度。计算放大图像的像素时,首先对相应的四张拟合曲面片做采样求得四个像素值,放大像素由四个像素的加权组合生成。其主要创新是提出了将原场景表面用分片多项式曲面片近似,对曲面片分别采样得到多个采样值,每个放大像素由四个采样值加权平均生成。由于可采用不同形式的权函数,放大像素的生成具有更大的灵活性。新方法的优势是便于计算,且放大图像具有更好的视觉质量和更高的峰值信噪比。二、提出了基于保型约束的最小二乘的图像放大方法。从视觉观点出发,图像的视觉质量主要是由其边缘决定的。传统的使用多项式插值来放大图像的方法会导致边缘模糊,而基于边缘导向插值的方法会引起在非边缘地区的细节失真。本文提出了一种新的图像放大方法。首先构造一张曲面来插值图像数据,为了消除锯齿,相应于每个像素以边缘信息作为约束条件构造一张拟合曲面片。所有拟合曲面片的加权组合形成具有数据点所建议形状的插值曲面。插值曲面上每一个点都可以看作是取自一个单位正方形区域上的采样点,即用插值曲面产生放大图像时,每一个放大图像的像素对应的采样区域是一个单位正方形。采样区域为单位正方形将导致放大图像丢失一些细节。为了使放大图像保留尽可能多的细节,放大像素的采样区域应该小于一个单位正方形。所以在算法的第二步,对每个要计算的放大像素,由插值曲面计算九个点,使用带有约束的优化方法由九个点计算放大像素,使放大像素的个数与放大像素对应的采样面积大小成反比。放大图像具有二次多项式精度。其主要创新是基于图像原场景可用分片二次多项式逼近的思路,给出了对图像进行缩放的计算公式,并给出了基于带约束的优化技术求解计算公式的方法。新方法与其他方法的比较结果表明,新方法给出了更好的图像放大效果。三、图像处理中,把图像分割得到的离散边界拟合成连续的边界或把离散的边缘拟合成连续的边缘是时常遇到的基础性问题。对于由离散数据点构造拟合曲线中的数据点参数化问题,提出了基于优化弯曲和伸展能量确定节点的方法,即为每个数据点指定一个节点(参数值)。方法的基本思想如下：对每一个数据点,构造一条通过三个相邻数据点的二次多项式曲线。曲线有一个自由度用来最优化曲线的形状。为了使曲线具有更好的形状,自由度由最优化曲线的弯曲能量和伸展能量来确定,从而使曲线的变化尽可能小。算法在每对相邻的数据点之间计算了两个局部节点区间,这两个数据点的最终节点区间由两个局部节点区间组合确定。参数化方法是局部方法,所产生的曲线具有给定数据点所建议的形状。其主要创新是提出了通过优化二次曲线的弯曲能量和伸展能量计算节点的新思路,并证明了对二次曲线来说,优化弯曲能量和伸展能量得到的结果是相同的。四、三次样条函数因具有最小范数、最优逼近、强收敛等性质成为最重要的曲线曲面造型方法之一。三次样条函数曲线具有三次多项式精度,那么三次参数样条曲线应该至少具有相同的精度。从这个目标出发,本文讨论了如何选择具有三次多项式精度的节点,当选择的节点用来构造参数样条曲线时,构造的参数样条曲线具有三次多项式精度。本文讨论了利用五个数据点构造一条三次多项式曲线,基于三次多项式曲线,提出了一个具有三次多项式精度的数据点参数化新方法。具有三次多项式精度的参数化方法含义是：如果给定数据点取自一个三次多项式函数F(x,y),并且构造插值曲线的方法具有三次多项式精度,则使用新方法计算出的节点构造对数据点插值的曲线将会精确地重构F(x,y)。而现有的数据点参数化方法最多只具有二次多项式精度。其主要创新是给出了三次多项式曲线上的点和参数间的函数关系,提出了基于三次多项式曲线计算节点的思想,并给出了具体计算节点的数值计算方法。本文的不足之处和进一步工作：对于图像放大问题,主要问题是图像边缘的提取至今仍是一个难于解决的问题,特别是对伪边缘的判定更是没有好的方法,如何提取图像的边缘和定义边缘的特征是以后研究工作的重点。另外,如何对目标函数施加边缘约束,使构造的曲面能更好的反映边缘特性也是一个需进一步深入研究的问题。对于由离散数据点构造插值曲线的问题,论文基于三个点之间确定的距离和角度来确定参数,所以它在仿射变换下不是恒定的。这点与积累弦长方法,修正弦长方法和向心参数化方法是相同的。因此未来的工作之一就是研究如何使新节点参数化方法在仿射变换下是不变的。具有三次多项式精度的参数化方法虽然是仿射不变换的,但计算方法复杂,将进一步研究对方法简化问题。