二维形状表示是计算机视觉和模式识别等领域的一个基本问题,在形状检索、目标识别、对称检测等应用中起着重要的作用。一个高质量的二维形状表示不随形状的平移、旋转、等比缩放、肢体变化而发生改变,对边界噪声具有较好的抗噪性且足以被用来区分不同的形状。设计一个同时满足以上约束的高质量二维形状表示方法仍然是一个研究热点和难点。拉普拉斯特征函数是定义在形状上的等距不变量,能够很好地捕捉形状的本质特征,可被用来表示二维形状。但是,利用拉普拉斯特征函数表示二维形状仍然面临一些问题。首先,只有极少数简单形状的拉普拉斯特征函数具有解析表达式；其次,拉普拉斯特征函数的符号是未定义的；再次,受数值计算稳定性等因素的影响,相似拉普拉斯特征值对应的拉普拉斯特征函数可能存在顺序互换现象。形状的骨架也能够捕捉形状的本质特征,是常用的二维形状表示工具之一。但是,现有的基于骨架的二维形状表示方法通常对边界噪声比较敏感,且由于这些方法一般借助于图／树结构表示骨架,在将此类方法运用于对称检测等应用中时,往往需要大量的后续操作。形状检索是二维形状表示方法的一个主要应用,它通过比较形状表示来计算形状间的非相似度,形状表示的质量直接影响形状检索的效果。对称检测也是二维形状表示方法的主要应用之一,现有的对称检测方法大多只能检测形状中的一种或几种对称信息,设计一个简单、鲁棒、能够自动检测形状多种对称信息(全局和局部、外蕴和内蕴、反射和旋转对称)的方法仍然是个挑战。基于上面提到的几个问题,本文主要对(1)二维形状拉普拉斯特征函数的性质与关系、(2)基于拉普拉斯特征函数的二维形状表示及检索、(3)基于骨架的二维形状表示及对称检测三个方面进行了研究。具体成果和创新如下：(1)提出了一种对二维形状拉普拉斯特征函数特征化及分类的方法。对于一个拉普拉斯特征函数,通过分析其quasi Morse-Smale(qMS)复形的元素分布情况,定义了一个20维的特征矢量来表示其几何特征和拓扑特征。两拉普拉斯特征函数间的相似度为对应特征矢量的余弦相似度。根据一个二维形状的拉普拉斯特征函数间的相似度,采用层次聚类算法对该形状的拉普拉斯特征函数进行分类。属于同一分类的拉普拉斯特征函数具有相似的结构特征。该方法将抽象的拉普拉斯特征函数特征化,探究了同一个形状拉普拉斯特征函数间的关系,为降低形状表示空间的维度和拓宽拉普拉斯特征函数的应用范围提供了可能。(2)提出了一种基于拉普拉斯特征函数的二维形状检索方法。形状表示及形状比较是形状检索的两个重要组成部分。在形状表示过程中,定义一个赋权有向图来表示一个拉普拉斯特征函数的极值点分布情况,并将该有向图命名为带符号的自然邻居图(signed natural neighbor graph,简记为SNNG).采用形状的前k个非平凡拉普拉斯特征函数对应的SNNG表示一个二维形状。在形状匹配阶段,通过比较对应的SNNG计算两拉普拉斯特征函数的非相似度。在比较两个二维形状时,根据两形状拉普拉斯特征函数间的非相似度矩阵,采用匈牙利算法计算两形状拉普拉斯特征函数间的最优匹配,相互匹配的拉普拉斯特征函数的非相似度之和即为两形状的非相似度。通过将SNNG的边权定义为有符号数,解决了拉普拉斯特征函数的符号问题。通过计算两形状拉普拉斯特征函数间的最优匹配,解决了拉普拉斯特征函数的顺序问题。实验表明,该方法能够有效地检索出形状库中与待检索形状相似的形状。理论表明该方法可被扩展到三维形状表示及检索中。(3)提出了一种基于骨架的二维形状表示及对称检测方法。根据形状边界与骨架的关系,该方法定义了一个一维离散函数来表示二维形状,函数曲线上的点与形状边界点一一对应。利用该函数的极值点将函数曲线分割成一系列的曲线段,通过比对曲线段的特征,自动检测形状中的全局及局部、外蕴及内蕴、反射及旋转对称。由于计算过程采用了剪枝的骨架,该方法对形状边界噪声比较鲁棒。由于计算形状表示时距离度量采用了内部距离,该形状表示具有肢体变化不变的特性。通过将骨架的二维图结构转化为一个一维离散函数,大大降低了基于骨架处理的复杂度,操作简单、易于实现。