论文部分内容阅读
近三十年来，已有的广义黎曼问题(GRP)格式，作为二阶Godunov型数值格式中的一种，已被广泛应用到实际问题的数值模拟当中，如燃烧问题、管道流问题等。GRP格式可分为两种：原始GRP格式和直接Euler型GRP格式，其中后者避免了从Lagrange坐标到Euler坐标的过渡且更容易向高维推广。本文主要研究可压缩无粘相对论流体力学(RHD)与非相对论流体力学方程组的直接Euler型GRP格式，内容如下：(1)一维和二维RHD方程组的二阶直接Euler型GRP格式的构造。由于Lorentz因子的出现，RHD方程组的数值计算比非相对论更困难和复杂。特别地，RHD方程组中的通量与原始变量均无法表示成守恒变量的显式形式，故在已知守恒变量时，需先数值求解非线性代数方程来获得原始变量，进而通过原始变量给出通量。在格式的构造中，着重分析了局部广义黎曼问题中左右非线性波分别位于单元界面两侧的情形：利用黎曼不变量与激波关系式详细分辨了左右非线性波，得到速度与压力随体导数极限值(广义黎曼问题初始间断处沿时间方向的极限值)的线性方程组，其中系数矩阵与右端项由广义黎曼问题初始数据的左右状态及相应黎曼问题中间状态表示。在得到速度与压力的随体导数后，结合接触间断所处位置，给出原始变量一阶时间偏导数的极限值。对于其它情形(左右非线性波均位于界面一侧、跨音速稀疏波、声波情形)，相应广义黎曼问题的分辨可以得到一定简化。以跨音速稀疏波为例，由于单元界面处于稀疏波区域内部，所以只需借助黎曼不变量和声速点的定义，单独分辨稀疏波，即可给出原始变量一阶时间偏导数的极限值。虽然二维GRP格式与一维相似，但是二者的推导却是不同的。这是因为高维分裂型RHD方程组的相应于非线性波的黎曼不变量(除熵之外)均非线性依赖于变化的切向速度，以致于一维格式的结果并不能直接运用到二维情形，而在非相对论流体中并不存在这样的问题。通过若干数值算例来检验GRP格式的精度以及激波等间断的捕捉效果。(2)一维非相对论Euler方程组与RHD方程组的三阶直接Euler型GRP格式的构造。在三阶格式构造过程中，除需要像二阶格式一样导出原始变量的一阶时间偏导数的极限值外，还需要导出原始变量的二阶时间偏导数的极限值。相对于一阶时间偏导数，二阶时间偏导数的计算需更加精细地分辨局部广义黎曼问题。例如当左右非线性波分别位于单元界面两侧时，需要计算黎曼不变量的二阶和三阶导数或者计算物理量二阶方向导数(沿激波方向)跨越激波满足的关系式。而对于跨音速稀疏波情形，二阶时间偏导数的分辨比较困难，目前还在探索中。对比非相对论Euler方程组的格式构造，在RHD的三阶GRP格式构造过程中，除了由于方程的高度非线性导致推导上更加复杂以外，即使在考虑理想气体状态方程时，格式构造过程中出现的关于特征变量的积分也要通过数值积分给出。若干数值算例表明，构造的格式达到三阶收敛率，并且有较好的计算效果。