【摘 要】
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这篇论文主要研究了三个问题:一类抛物方程的梯度估计;加权空间上一类椭圆方程的梯度估计;一类非线性方程△u+Cuα=0的梯度估计.在第一章中,介绍了有关黎曼流形上偏微分方程
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这篇论文主要研究了三个问题:一类抛物方程的梯度估计;加权空间上一类椭圆方程的梯度估计;一类非线性方程△u+Cuα=0的梯度估计.在第一章中,介绍了有关黎曼流形上偏微分方程正解的梯度估计的研究背景及现状,还有一些我们在证明过程中需要用到的预备知识.Brighton[5]研究了加权空间中,有关正f调和函数的梯度估计.受其启发,在第二章中,通过使用Bochner公式并借助光滑的截断函数在完备的黎曼流形(Mn,g)和Ricci流上考虑如下抛物方程ut=△u+aulogu+bu的正解,其中a,b是两个实常数.得到了此方程Hamilton型的梯度估计和在一定条件下的Liouville类型的结果.在第三章中,在光滑的度量空间(M,g,e-f dv)上考虑非线性椭圆方程△fu+aulog u+bu=0,的正解,其中a,b是两个实常数.在假设∞-Bakry-Emery Ricci曲率有下界的情况下,得到了不依赖于|▽f|的全局梯度估计.特别地,在一定的条件下,满足此方程的任何有界正解都必须是常数.在第四章中,对非线性椭圆方程△u+Cuα=0,正解的问题进行研究,给出了有关Liouville型的结果,其中C≠0.
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